UEBER DAS GAUSS'SCHE PENTAGEAMMA MIEIFICUM. 25 



von der Beschaffenheit, dass die Diagonalen des von diesen 

 Punkten gebildeten Pentagons Quadranten sind, d. h. also, wenn 

 (i, Je) den geodätischen Abstand der durch die Coordinatenindices 

 i } h charakterisierten Punkte bedeutet, so ist 



(*, * + 2)=|, (i= 1,2,3,4-5) 



wo die Indices, wie auch stets im Folgenden, modulo 5 zu redu- 

 cieren sind. Mit Rücksicht auf die Formeln (3) der Nr. I haben 

 wir demnach 



(1) • • • • PiPi + % + &2*'+a + titi + 2 *= (» = 1,2,3,4,5). 



Ein solches Fünfeck nennen wir mit Gauss ein Pentagramma 

 mirificum. 



Interpretieren wir (p, q, t) als homogene CAETESiüS'sche 

 Coordinaten in einer Ebene, so besagen die Gleichungen (1), dass 

 die fünf Punkte 



(Pi, q<; tt) (i = i, 2, 3, 4, 5) 



ein Polfünfeck in Bezug auf den Kegelschnitt C 



P 2 + <? + t 2 = 

 constituieren, d. h. ein Fünfeck, in welchem jede Seite die Polare 

 der gegenüberliegenden Ecke ist. Legen wir durch die fünf Punkte 

 einen Kegelschnitt C x und construieren dessen Polarfigur C 2 in 

 Bezug auf C, so ist das betrachtete Fünfeck dem Kegelschnitte C x 

 eingeschrieben und dem Kegelschnitte C 2 umschrieben. D. h.: 



Einem Pentagramma mirificum entspricht stets ein ebenes 

 Poncelet' sches Schliessungsproblem für den Fall eines Pünfecks* 



Die Kegelschnitte C t , C 2 haben die Eigenschaft, dass die 

 Gleichung des einen in Punktco ordinaten mit der Gleichung des 

 anderen in Liniencoordinaten übereinstimmt, sie werden also 

 simultan auf ihre Hauptaxen transformiert. Gehen wir nun von 

 (p, q, f) zu einem anderen System (u, v, w) homogener Belteami'- 

 scher Coordinaten über, d. h. setzen wir (ii 7 v, w) proportional 



* Vergl. Gtundelfinger , Vorlesungen aus der analyt. Geometrie der 

 Kegelschnitte (1895), pag. 423, auf welche Stelle der Herr Verfasser mich 

 während der Drucklegung der vorliegenden Note brieflich aufmerksam zu 

 machen die Güte hatte. 



