30 JOSEF KÜRSCHAK. 



und deren Subdeterniinanten mit Coefficienten, die bloss von 



abhängen. *' X± ' ' ' '' *" Pl > ' "> Pn 



Soll die erste Variation von 



I = j I . . . f fdx 1 dx 2 . . . dx n . . E . . (1) 

 verscb winden, so muss z der partiellen Differentialgleichung 



V (fi — T ~~ ^j äHT k dp k + 2j ^j Tx~dx^ dj?7 k = °; • • (2) 



i = 1 j = 1 k = «" 



genügen, wo bei der mit -= — '- bezeichneten Differentiation zu be- 

 ° ö ; dx k 



rücksichtigen ist, dass auch g und deren Ableitungen Xt enthalten. 



Die Differentialgleichung V(f) = ist — wie wir sehen 



werden — von der zweiten Ordnung, und zwar hat ihre linke 



Seite dieselbe Beschaffenheit wie f, nämlich sie ist ebenfalls eine 



lineare Verbindung von 



I Pik | 

 (?:, Ä- = 1, 2 . . . n) 



und deren Subdeterniinanteii mit bloss von den unabhängigen 

 Variablen, und von g und den ersten Ableitungen abhängigen 

 Coefficienten. Wenigstens für 1, 2 und 3 unabhängige Veränder- 

 liche ist auch bekannt* dass, wenn die Coefficienten von f be- 

 liebig sind, V(f) = die allgemeinste Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung der Variationsrechnung bedeutet. 



Wenden wir nun auf V(f) = die Berührungstransformation 



g = Zi (ß, X 1} . . ., Xn, P 1} • ■ ■, Pn) /g\ 



X-^ -Ä.-J , . . . , X n = -A-n? Pi = Jj , • • • , Pn. == -*-n 



an, indem wir die Transformation in bekannter Weise mit den 

 Gleichungen 



p a - = Pik (*, X 1} . . ., X n , p u . . ., p n , p n , . . ., Pnn) ■ (3*) 

 (/, k = 1, 2, . . ., n) 



erweitern**, und dann V(f) in den neuen Veränderlichen aus- 

 drücken. 



* Akthur Hirsch. "Über eine charakteristische Eigenschaft der Diffe- 

 rentialgleichungen der Variationsrechnung, Mathematische Annalen, Bd. 49. 

 ** Lie, Theorie der Transformationsgruppen. Bd. II, pp. 378 — 383. 



