DIE PART. DIFFERENTIALGLEICH. DER VARIATIONSRECHNUNG. 31 



Aus I ergiebt sich ebenfalls ein transformiertes Integral, wenn 

 man an Stelle von 



das Product 



setzt, wo , -, ~ 



; \ dX. 



I " ,x k 

 (i, k = 1, 2, . . . , n) 



und dann f=fö~ 1 (und die Grenzen des Integrals*) in den 

 neuen Veränderlichen ausdrückt. 



In dem transformierten Integrale 



ff . . . f fdx[dx% ■ ■ ■ dx' n 



bat f wieder die Beschaffenheit von f. 



Wird die Transformation als Einführung neuer Coordinaten 

 betrachtet, so lässt sich vermuthen, dass die in Angriff genommene 

 Frage mit folgendem Satze beantwortet werden kann: 



Die dem ursprünglichem Integrale I entsprechende Differential- 

 gleichung V (f) = wird durch die Berührungstransformation in 

 eine Differentialgleichung überführt, die sich nur durch einen un- 

 wesentlichen lactor von jener unterscheidet, die bei der Variation 

 des transformierten Integrales zu lösen ist. 



Wir brauchen also nur diesen Satz zu beweisen. 



3. Vor allem entwickeln wir V (f) ausführlich. 



Die aus den zweiten Ableitungen p ik gebildete Determinante 

 und jede ihrer Subdeterminanten lässt sich als eine Functional- 

 determinante 



A> = 



dx„ 



(v, ä = 1, 2, . . ., n) 



darstellen, in der die U v bloss von 



8, X 1} . . ., X n , p ly . . 



Pn 



abhängen. 



Für 



* Dazu ist allerdings notkwendig, dass für jede Stelle (x t x» . . . x^ 

 der Begrenzung auch die Werthe von z und den ersten Ableitungen be- 

 kannt seien. 



