GRUPPEN INDUCIERTER SUBSTITUTIONEN. 231 



da aber die Potenzenproducte 



linear unabhängig sind, ist diese Gleichung nur so möglich, dass 



O- = 0,.l,2, . . .,r— 1) 



ist; dann ist aber 



{I n (ST)}-i = (I n (S))-i(I n (T))-i = (I n {T)IJS))-i 



und, da die Inversionen gleicher Substitutionen wiederum gleich 



sind, ist 



IJST) = I n (T).I n (S). 



Hieraus ergiebt sich der folgende Satz: 



„Die inducierte Substitution eines Productes ist mit dem Producte 

 gleich, das aus den inducierlen Substitutionen der Factoren in um- 

 gekehrter Reihenfolge gebildet wird."* 



Es ist vielleicht nicht überflüssig, diese Verhältnisse an einem 

 speciellen Fall auch durch Berechnung zu erläutern. 



Seien die beiden Substitutionen S und T ausführlich ge- 

 schrieben 



S = 



alsdann ist 



wo 



ist. 



( a \ b x\ T^( ai 'A 



\a 2 bj' ' U ßj' 



st -(J t)< 



A t = a l a 1 -\- b x a 2 

 B x = a 1 ß 1 + b 1 ß % 



-/L: t = dt) CC~t —\ — Oo CC9 



S 2 = a 2 ß t + Ms 



* "Wird die inverse Substitution von I n (S) durch i(ß) bezeichnet, so 

 ergeben sich Substitutionen, deren Multiplicationsgesetz noch einfacher ist, 

 nämlich : 



i (ST) = [In (ST)]-* = [In (T) In (S)]" 1 = [In (ß)]^ [In ( T)} "* , 



so dass 



i(ST) = i(S)i(T) 

 ist. 



