GRUPPEN INDUCIERTER SUBSTITUTIONEN. 233 



das ist aber in der That die inducierte Substitution der Substi- 

 tution ST, so dass also 



I 2 (T)W) = I 2 (ST) 

 ist. 



2. Durch vollständige Induction überzeugt man sich, dass 



In (S ± S 2 , . . S m _ i S m ) = l n (ß m ) I n (S m _ x) ... I(S 2 ) 1 ($ x ) ; 



setzt man hierin 



$1 = ^2 = ' ' ' $n = $1 



so ergiebt sich: 



In(S m ) = [I n (S)Y>- 



dies kann durch den nachstehenden Satz ausgedrückt werden: 



Die inducierte Substitution der m-ten Potenz (m ist eine posi- 

 tive ganze Zahl) einer linearen Substitution ist gleich der m-ten 

 Potenz der inducierten Substitution. 



3. Die inducierte Substitution der Einheits-Substitution. Als 

 Einheits - Substitution (identische Substitution) ft-ter Dimension, 

 Et, sei die lineare Substitution 



yi = x-i (E h ) 



Da 



und andererseits 



(» = 1,2,..., *) 



f(E k {x))=f(x)=f(u) 



so muss 



f(E k (x)) = I n (E k )f{u), 



I n (E k )f(u)=f(u) 



sein, woraus man wieder vermöge der linearen Unabhängigkeit 



der Potenzproducte 



Po,Pi, ■■•jPv-i 



schliesst, dass . . 



J-n \En) = E ( n _|_ Je _ IN 



äs£, rf. /*., ffass jetfe inducierte Substitution der Einheits -Substitution 



wiederum eine Einheits -Substitution ist. 



4. Die inducierte Substitution der inversen Substitution, Sei 



ST = E k , 

 so dass 



ist, dann folgt aus den Identitäten 



