GRUPPEN INDUCTERTER SUBSTITUTIONEN. 235 



Von dieser Reihe, J M (6r), können wir jetzt leicht beweisen, dass 

 sie wieder den Gruppen Charakter hat. Sind nämlich I n (ßi) und 

 Inißj) zwei beliebige Substitutionen der Reihe I n (G), dann ist 

 ihrProduct M8l) l. (Sj ) - Z.(StS,) 



ebenfalls in der Reihe l n (G) enthalten, da ja mit Sj und S f zu- 

 gleich auch SjSi in G vorkommt und I n (G) die sämmtlichen 

 inducierten Substitutionen von G enthält. 



Die Gruppe I n (G) möge als die inducierte Gruppe der 

 Inductor -Gruppe G benannt werden. Die gefundene Thatsache 

 lässt sich durch folgenden Satz ausdrücken: 



Die inducierten Substitutionen der Elemente einer aus homogenen 

 linearen Substitutionen bestehenden Gruppe bilden abermals eine 

 Gruppe, die mit der ursprünglichen Gruppe isomorph ist. 



6. Ist G die allgemeinste lineare Gruppe, dann ist der zwischen 

 G und I n (G) bestehende Isomorphismus meriedrisch, und zwar auf 

 die Weise, dass während einer jeden Substitution von G in I n (G) 

 eine und nur eine Substitution entspricht, jeder Substitution der 

 Gruppe I n (G) in G n Substitutionen entsprechen. 



Ist nämlich -r- : ,n,- a 



I n (S-) = Ä 



und S' eine beliebige andere Substitution, für die gleichfalls 



In (S') = A 



ist, dann hat man 



I n (S'){I n {S)}-' = E v] 



da jedoch 

 und 



ist, so muss 



{I n (S)}-i = I n (S-i) 

 I n (S')I n (S-i) = I n (S-iS') 



I n (S-iS') = E 1 (I) 



sein. Dieses Resultat veranlasst uns dazu, dass wir uns mit der 



Gleichung T ,„. ,-. 



ö I n (0) = E v 



eingehender befassen, in der wir die Substitution C als Unbekannte 

 betrachten. Die Substitution C kann in der Form 



®i = c '->Vi + c '( i h H V c i k) y>t • • • • (0) 



