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diese Gleichheit zeigt aber schon im Sinne des vorausgeschickten 

 Hilfssatzes , dass die Substitutionen I n (S) und /„($') conjugiert 

 sind., dass also in der That 



In(S')={In{S)Y 



ist. 



3. Der Sri vESTERSÖhe Satz über contragrediente Substitutionen* 

 Der Inhalt dieses Satzes besteht darin , dass bei Benützung 

 präparierter Formen nach der Induction die Contragredienz er- 

 halten bleibt. Der Beweis ist auf Grund des Vorhergegangenen 

 sehr einfach. Sei die Substitution S ausführlich geschrieben 



IJi = SixXi -\- Si2%2 -\ + S ik X k 'j . . . . (8) 



(» = 1, 2, ..., k) 



sei ferner die Determinante der Substitution: \S\ und die Sub- 

 determinante des Elementes %, dann kann die mit S contra- 

 grediente Substitution T auf folgende Weise geschrieben werden 



Sil | Si2 I ■ S/k / rp\ 



Vi — T§T X l l TgT x 2 ~T~ ' * ' ~T~ TßT x k] ■ ■ • K 1 ) 



{1 = 1, 2 , . . . , k) 



Clcl äiDGl o o o 



Ol/ ,02/ i i oki 



Xi = JS\ Vi + ~\S\ & H hT^!/f 



(» = 1 , 2 , . . . , *) 



die Umkehrung von S, d. i. S~ l und diese Substitution die conju- 

 gierte Substitution von T ist, darum kann die contragrediente Sub- 

 stitution von S, d. i. T durch die Gleichung 



T=[S-i]' 

 ausgedrückt werden. 



Wenden wir nun auf beiden Seiten die Operation der präpa- 

 rierten Induction I n an, so tritt durch die Identitäten 



I n (T) = I n {[£-*]'} = [In (S-i)]'= {[/, (S)]- 1 }' 

 in Evidenz, dass I n (T) und !„($) contragredient sind, womit zu- 

 gleich auch der SvLVESTER'sche Satz bewiesen ist. 



III. Inducierte Gruppen orthogonaler Gruppen. 

 Die Bedeutung der inducierten Substitutionen in der Inva- 

 riantentheorie liegt darin, dass man im Falle ihrer Anwendung 



* S. Grelle, Journal, Bd. 85, p.91 — '.3; ferner Hukwitz : „Zur Invarianten- 

 theorie", Mathematische Annalen, Bd. XLV. p. 394. 



