GRUPPEN INDUCIERTER SUBSTITUTIONEN. 245 



bei der Untersuchung von Formen invarianten Charakters sich 

 ausschliesslich auf lineare Grundformen beschränken kann. Die 

 moderne Invariantentheorie beschränkt sich nicht mehr darauf ; 

 dass sie bloss die zur allgemeinsten linearen Gruppen gehörigen 

 Formen invarianten Charakters zum Gegenstand ihrer Untersuchung 

 macht , sondern sie erstreckt sich vielmehr auch auf die Be- 

 stimmung von Invariantensystemen specieller Gruppen. Unter 

 diesen speciellen Gruppen nimmt die orthogonale Gruppe, vermöge 

 ihrer häufigen Anwendbarkeit in der Geometrie und Mechanik, 

 einen besonderen Platz ein. Und nun fragt es sich, ob beim 

 Aufbau der Invarianten theorie dieser orthogonalen Gruppen jene 

 Vortheile erhalten bleiben, welche die Anwendung inducierter 

 Substitutionen bietet? Sind die inducierten Gruppen der ortho- 

 gonalen Gruppen wieder orthogonal, so wird die Antwort auf die 

 gestellte Frage bejahend sein. Das wird in der That der Fall 

 sein, so oft bei der Herleitung der inducierten Gruppen eine 

 präparierte algebraische Form verwendet wird. Auf Grund des 

 Vorhergegangenen können wir nämlich den folgenden Satz leicht 

 beweisen : 



1. Die präparierten inducierten Substitutionen einer orthogonalen 

 Substitution sind ebenfalls orthogonal. 



Sei 



Vi = Cnljl + C/2^/2 H h Cikjfk ■ ■ ■ ■ (8) 



(i = l, 2, ..., ft) 



orthogonal, d. h. zwischen ihren Coefncienten sollen die Bedingungs- 

 gleichungen 



CnOij + c 2i c 2 j + • • • CaCkj = dij .... (1) 



(/, 3 = 1, 2, . . ., Je) 



bestehen, in denen d,j Null oder Eins ist, je nachdem j von i 

 verschieden oder damit übereinstimmend ist. S~ 1 , die Inversion 

 der orthogonalen Substitution S kann — wie bekannt — so ge- 

 schrieben werden: 



X; = c u yx + c 3i y 2 + ■ • • + c ki y k 



(/•=1, 2, ..., *) 



und da dies zugleich die conjugierte Substitution von S ist, so 

 genügt orthogonale Substitution der Gleichung 



S~ 1 = S' (I) 



