246 GUSTAV RADOS. 



Wie leicht ersichtlich, ist (I) nicht allein die notwendige, sondern 

 auch die hinreichende Bedingung für die Orthogonalität einer 

 linearen Substitution. Wird nämlich der Bedingung (I) Genüge 

 geleistet, so ist zugleich auch die Gleichung 



S' S = E k 

 befriedigt, d. h. die Composition der Coefficientensy steine 



Cl2 C22 



und 



Clk C 2 k ■ ■ ■ Ck k 



führt auf das Einheitssystem, also 



CuCij + C 2 ;C 2j + ■ * • + Cki-Ckj = Sijf 



dann ist aber S orthogonal. 



Wenn wir nunmehr auf beide Seiten der Gleichung (I) die 

 Operation I n anwenden und berücksichtigen, dass I n das Zeichen 

 der präparierten inducierten Substitution ist, dann folgt aus den 

 Identitäten j„ '(£-*) = I n (S f ) 



i n {s f ) =[i n (s)y, 



dass 



\In{S)~]-l = [_I n (S)]' 



ist, woraus aber schon auf Grund des in (I) ausgedrückten Satzes, 

 I n (ß) sich als orthogonale Substitution erweist. 



Vielleicht ist es nicht überflüssig, auch diesen Satz an 

 einem Beispiel zu erläutern. 



Sei , a , 



s- ( ' 'l') 



A 



orthogonal, dann sind die zwischen den Coefficienten bestehenden 

 Bedingungsgleichungen : 



a l + K l = 1 f a l ßl + a 2 ß-2 = > ßl + ßl = 1 - 



Die präparierte inducierte Substitution zweiten Grades von S ist 



V ßl 1/3AA ß\ J 



