FACT.-ZERLEGUNG D. CHARAKT. GL. D. INDUC. SUBSTITUTION. 249 



— wie bekannt* — aus dem Produkte 



hervorgehen, indem man darin an Stelle der Indexcombination 



*i'*a • • • in 



die sämmtlichen Combinationen mit Wiederholung der Elemente 

 1, 2, • • •, k der Reihe nach setzt. 



Die vorliegende Arbeit bezieht sich auch auf die charakteri- 

 stische Gleichung 



von der auf Grund des in den einleitenden Zeilen citierten Satzes 

 bewiesen werden soll, dass bei jedem Werthe von n (insoferne es 

 grösser als 1 ist) und unabhängig von k stets reducibel ist. Die Zahl 

 der irreducibeln Factoren von d> k n (?/) kann sogar immer auf 

 analytischem Wege vermittelst einer Formel bestimmt werden, 

 wie das der im Folgenden zu beweisende Satz zeigt: 



Die Anzahl Q^n der irreducibeln Factoren der charakteristischen 

 Function <f) kn (y) ergiebt sich stets durch die Formel: 



l 



n l 



~d n Sl k (x) 

 dx n 



1 ^f(O): 



n ! 



wo an Stelle von Sl k {x) 



zu setzen ist; im Falle, dass k^>n ist, ist Q kn , die Zahl der irre- 

 ducibeln Factoren von <b kn (y), von k unabhängig und ergiebt sich 

 durch die Formel 



~ä n W(x)~ 



1 



Qkn 



n i 



dx 11 



grw(0) ; 



CO 1 



wo W{x) die mit Hülfe des unendlichen Productes W\x) = 11 ä 



definierte transcendente analytische Function bedeutet. 



Nebenbei heben wir als vom Standpunkte der Algebra inter- 

 essantes Nebenresultat hervor, dass die irreducibelen Factoren 



* S. die Abhandlung des Autors unter dem Titel „Inducierte lineare 

 Substitutionen" Bd. XYI. p. 241—262 dieser Berichte. 



