FACT.-ZEELEGUNG D. CHAEAKT. GL. D. INDUC. SUBSTITUTION. 253 



alle Substitutionen der Gruppe F iu der That einmal und nur 

 einmal;, und auf diese Weise ist die Ordnung der Gruppe r, 



[v = a-y\ ccvl ■ • ■ a r \ (li — Ui — cc 2 — • • • — «,.)!. 

 Die Anzahl derjenigen Werthe aber, die der Ausdruck 



y = (Ä^a . . . /L ßl )»HX 1 + a« 1 + 2 • • • K+aJ" h • • • 



• • • (^ ai +« 2 H h«y-f-i+i • • • ^«i+«2H l-O'"'' 



bei Anwendung sämmtlicher Substitutionen der symmetrischen 

 Gruppe &-ten Grades annimmt: 



kl k\ 



v a x \ a 2 l ■ ■ ■ a r l (k — a ± — a 2 — ■ ■ ■ — cc r )\ 



Sind diese Werthe 



2/i; y-2, ■ ■ -, y* 



so ist 



n 



&{y) =rj(y - yO = tf + Af- 1 + • • ■ + A n = o 



die Gleichung, die y befriedigt, die in ihr enthaltenen Coeffi- 

 cienten 



sind als symmetrische Functionen der Wurzeln 



ki, k-2, . . ., kk, 



durch die Coefficienten der Gleichung 



<Pk(k) = 



und somit auch mit Hülfe der Elemente a ilc rational ansdrückbare 

 Grössen. Insoferne die Elemente a ik unbestimmt bleiben, ist G(y) 

 irreducibel, so dass, wir in G (y) einen der irreducibeln Factoren 

 von (Dkn (y) kennen lernen. 



Auf diese Weise ist es klar, dass jeder einzelnen aus posi- 

 tiven Zahlen bestehenden Lösung der diophantischen Gleichungen 

 unter (1) je ein irreducibeler Factor der charakteristischen 

 Gleichung kn (y) entsprechen wird und umgekehrt. Die An- 

 zahl dieser irreducibelen Factoren stimmt also mit der Anzahl 

 derjenigen Zerlegungen in gleiche oder verschiedene positive 



