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GUSTAV RAD OS. 



Zahlen überein, in denen die Anzahl der Terme Tc nicht über- 

 schreitet.* 



Die Anzahl der Zerlegungen der Zahl n in a positive Glieder 

 können wir auch auf analytischem Wege angeben. Wenn wir 

 nämlich die rationale Funktion 



et 



co a (x) = 



(1 — x) (1 — af) . . _ v (l — x a > 



in der Umgebung der Stelle x = nach Potenzen von x entwickeln, 

 dann giebt in dieser der Coefficient von _x n den präcisen Werth 

 von l„,** so dass also 



C = 



n ! 



d n COa (x) 

 dx n . 



» 



7 (0) 



ist; Q kn , die Zahl der irreducibelen Factoren von G> kn (y), kann 

 also folgendermaassen dargestellt werden 



e*.==& + CH h^ = 



d n cok(x) 

 dx n _ 



1 



w ! 



d coi (x) , d n 032(x)' , 



. dx n dx n 



+ 



d 7 ' 



031 (x) + -CDg («) + • • .- + <»* (#) } 



» ! war 



bezeichnet man also die rationale Function 



rai (#) -|- ra* (#) -f- • • • + <»* (a?) 



-C + f ') 



* Die einfache Bern erkling, dass die aus der Gradzahl der irreducibelen 

 Factoren von $%, n (y) gebildete Summe mit dem Grade der $ ; . (y) selbst 

 gleich ist, führt zu dem analytisch-zahlentheoretischen Resultat, dass 



s &! = /« + * 



a 1 ! or 2 ! - • • cc r ! (Je — o^ — • • • — cc r ) ! \ Tc 



ist, wo die Summe sich auf die Zahlen c^a., . . . a bezieht und auf jede 

 positive Lösung der diophantischen Gleichungen 



m 1 a 1 -f m. 2 a 2 -f • ■ • -f- m r a r = w 

 (r = l, 2, . . . , fr) 



erstreckt werden muss. In diesen diophantischen Gleichungen sind 

 /Hj, ?h 2 , . . ., m r beliebige nicht negative Zahlen. 



** S. Euler, Introductio in analysin infinitorum. Caput XVI. De par- 

 titio numerorum. p. 263. 



