FACT.-ZERLEGUNG D. CHARAKT. GL. D. LNDUC. SUBSTITUTION. 255 



mit Sl k (x), so dass 



2 k 



n t \ i ii 



' ~~ 1 •— x (1 — x) (1 — * 2 ) (1 - a) (1 — x 2 ) ■■■ (1 — je*) 



ist, so kann man endlich die Anzahl der irreducibelen Factoren 

 yon <D kn (y) in der folgenden Form darstellen: 



Qk: 



r d n Slk{xj 

 L dx* . 



-£i(0). 



2. Ist Jc^>.n, so liefern sämmtliche positive Lösungen der 

 diophantischen Gleichungen 



h -\~ h -\- • ■ • + l = n 

 ( 2 = 1, 2, ..'.', *) 



die sämmtlichen möglichen' Zerlegungen der ganzen Zahl n. Die 

 Anzahl sämmtlicher Zerlegungen von n können wir, wie das 

 schon Euler* gezeigt hat, in der Weise erhalten, dass wir die 

 transcendente Function 



qr 



(*)-I7d- 



in der Umgebung der Nullstelle in eine Potenzreihe entwickeln 

 und den Coefficienten von x n nehmen. Folglich ist im vorliegen- 

 den Falle die Anzahl der irreducibelen Factoren 



Qkn 



~ä n T(x) 

 dx n . 



■qsin) (0) 



und, wie ersichtlich, ist diese Zahl von Je ganz unabhängig. 



Als interessantes Nebenresultat heben wir hervor, dass, so 

 oft k > n ist, auch 



pjÄ = ißW(0) = ^W(0), ' 

 ist, woraus wir das Resultat erhalten, dass 



* S. Euler, Tntr. in analysin infr. p. 269. 



