FACT.ZERLEGUNG D. CHARAKT. GL. D. INDUC. SUBSTITUTION. 257 



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Es sollen noch die erhaltenen Resultate an einigen speciellen 

 Fällen erläutert werden. 



1. Es sei z. B. h = 4 und es sei die Anzahl der irreducibelen 

 Factoren von 



®a(y), ®4*(y), ®a(y), ®u(g), ®&(y), ^(v), $« &)>•••• 



zu bestimmen. Zu diesem Zwecke bilde man den rationalen Bruch 



4 " = i~Z^ ' (1 — x)(l - x 2 ) ' (1 — x)(l— x 2 ) (1 — x 3 ) ' 

 + 



(1 — x) (1 — X 2 ) (1 — X 3 ) (1 - X*) ' 



man entwickele nun diese Function in der Umgebung der Stelle 

 x = nach Potenzen von x, so ergiebt sich 



£l iX=x + 2 x 2+3 x z + 5 x ± + Q x 5+$ x s + Ux 1 + löx s -\-l%x i> ~\----, 



so dass die Zahlen der in den Zerlegungen enthaltenen irreduci- 

 belen Factoren die folgenden sein werden: 



?41 = lj 042 = 2 7 ?43 = 3 ; ?44 = 5 ; Qi:, = 6 7 04G = 9 7 >47 = H; ■ • • 



2. Ist /.' > 11, so liefern die Coefficienten der Potenzreihe 



CD 



= l+^ + 2^ 2 + 3^ 3 + 5^ 4 + 7a; 5 + ll^ 6 + 15ic 7 + 22« 8 + 30x 9 + 

 4-42^ 10 + 56ä: 11 + 77^ 12 + 101^ 3 +135ä; 14 + 176^ 15 + 239^ 16 +-- ; 



die Anzahl der irreducibelen Factoren von O k n (y)-, so dass diese 

 Anzahlen für alle nicht negative g die folgenden sind: 



für (pg + uty) ist die Anzahl d. irreducibelen Factoren p„-fn =1 

 ®9 + zs(y) » » » 7; 77 ?7 ?» + 22 =-2 



^ + S8(y) „ » „ » 77 » ' Pf + m =3 



^ + 44(2/) 7? V » 77. 77 77 ?? + 4t =5 



Ö^ + Söfj/) 77 77 77 77 77 77 Q f J + 55 = ~ ' / jn 



4>0 + 66(«/) 77 77 77 77 ' 7? 77 Qff + 66 = H ' 



^0+77(.2/) 77 77 77 77 77 77 Qü + I't ==15 



^ + 88'(y) -77 77 77 77 77 77 &7 + 8S =^ 



®9+w(.y) 77 77 77 77 77 77 9g + 99 == ^0 



^ + 1010(2/)77 77 77 77 77 77 £,, + 1010 = 42 etc. 



Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aas Ungarn. XVII. 17 



