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3. Allgemeine Betrachtungen über die Gestaltung von 

 Kurven und Fläclien. 



Es scheint, als ob Johann Bolyai der eigentlichen Raum- 

 lehre, die er nach dem Muster der Elemente Euklids darstellen 

 wollte, erläuternde Bemerkungen beizugehen beabsichtigt hat, 

 wenigstens sind dem Manuskripte der ersten drei Teile der Raum- 

 lehi-e verschiedene Bruchstücke solcher Bemerkungen beigelegt. 

 Zu ihnen gehören auch die Aufzeichnungen, in denen Johann 

 allgemeine Betrachtungen über die Gestaltung der Kurven und 

 Flächen anstellt. 



Die Linien werden eingeteilt in einfaclie und hiotige. „Eine 

 einfache Linie ist nur jeder solche Verein von Punkten, worin 

 von dessen jedem Punkte zu jedem andern Punkte desselben ent- 

 weder nur ein von einem materiellen Punkte durchlauf barer Weg 

 da ist oder stets nur zwei derlei Wege vorhanden sind." Dann 

 gelte der Lehrsatz: „Jedes Stück einer einfachen Linie ist auch 

 eine einfache Linie, von einer knotigen aber nur dann wieder 

 eine einfache Linie, wenn entweder kein Knoten darein fällt oder 

 an keinem der darein fallenden Knoten mehr als z.wei Wege 

 vorhanden sind." 



„Eine einfache Fläche", heißt es weiter, „heiße nur jeder 

 Punktverein, worin aus jedem Punkte V fortlaufende Linien 5(, 

 SS, ß, ... (wenn man will nur denselben Punkt V gemeinsam 

 habend) da sind, wobei einem jeden Punkte Ä einer jeden dieser 

 Linien ein aber auch nur ein Punkt der übrigen Linien und um- 

 gekehrt entspricht und wo alle zu einem Punkte Ä von 91 ge- 

 hörigen Punkte B, C, ... eine einfache Linie bilden und ein 

 Anfangsstück jeder Linie von V in den Inbegriff 21 * 33 * ß ... 

 •fällt." 



Nunmehr stellt Johann sich die Aufgabe, die verschiedenen 

 Arten von einfachen Flächen aufzuzählen. Er unterscheidet zu- 

 nächst volle und durchlöcherte Fläclien. Aus den durchlöcherten 

 Flächen aber gewinnt er neue Typen voller einfacher Flächen. 

 „Man kann aus einer beliebigen einfachen Fläche eine beliebige 

 Anzahl Löcher herausheben, daselbst Röhren aufsetzen und diese 

 paarweise zusammenführen. So ist allgemeinst die einfache Fläche 



