JOH. BOLYAIS KAUMLEHRE. 7 



beschaifeii." Diese Behauptung beruht allerdings nur auf einer 

 Intuition, denn daneben ist bemerkt: „Einen Beweis untersuchen!" 

 Bemerkenswert in diesem Zusammenhange ist auch, daß 

 Johann sich mit Eulers Relation zwischen den Anzahlen der 

 Ecken^ Kanten und Seitenflächen eines Polyeders beschäftigt und 

 nach dem Bereiche ihrer Gültigkeit gefragt hat. „Der EuLERsche 

 herrliche Satz", sagt er, ^^von der Anzahl der Seitenflächen, 

 Kanten und Spitzen eines jeden Polyeders ist zwar schon lange, 

 jedoch, wie es scheint, nicht in gehöriger Allgemeinheit bewiesen, 

 da nicht jede derlei Polyeder -Relation durch successive Stutzung 

 Ton Pyramiden entsteht. Also neu angreifen!" An anderer Stelle 

 behauptet er, daß er „den BeAveis der EuLERschen Relation auch 

 für ringförmige Polyeder und Ebenen-Räume mit Höhlungen ge- 

 funden habe." Was er damit gemeint hat, ist nicht ganz klar, 

 und es muß dahin gestellt bleiben, ob er in der Tat richtig er- 

 kannt hat, in welcher Weise EuLERs Relation abzuändern ist, 

 damit ihr allgemeine Gültigkeit zukomme. 



4. Erster Teil der Raumlehre: Die Grundlagen. 



Die ersten sieben Paragraphen der Raumlehre mögen, zu- 

 gleich als Probe für die Art der Darstellung, wortgetreu mit- 

 geteilt werden. 



„§ 1. Ein PunJd heißt nur jeder theiUose oder einfache d. i. 

 solcher Ort, der nur sich selbst enthält, oder welcher nur in sich 

 selbst ist. 



§ 2. Es giebt einen Punkt und einen andern Punkt. 



§ 3. Den Dingen 5(, S gemein heißt nur jeder Theil von 2(, 

 welcher zugleich von 93 ein Theil ist. 



§ 4. 51 * 33 bedeute nur 31 und 95 oder den Inbegriff, den 

 Yerein der Dinge Sl und ^, wenn 51 außer ^ ist; 51 * S * (S^ 

 aber bedeute 51 * 93 und S. 



§ 5. 51 = '^ bedeute, das Ding 51 sei ebenso oder gleich 93. 



§ 6. 5X * ^S * (£ • • • " • 51' * 93' * 4' • ■ • bedeute, daß 5U ^ * ß • • • 

 dem 51' * 93' * ß' • • • dergestalt = sei, daß dabei 5t' dem 51, 93' 

 dem 93, CE' dem G, • • • entspreche. 



§ 7. 5( hat in Ansehung oder gegen oder zu S eine solche 



