8 P. STACKEL. 



Lage oder % ist zu S ebenso geörtert als %' zu 93' bedeute nui^ 

 daß 31 * 95 ^ 9t' * 93' sei." 



Als einfachstes geometrisches Gebilde wird darauf der Fiing 

 definiert, er ist der Verein aller Punkte, deren jeder zu A^ B 

 dieselbe Lage wie C bat, in Zeichen O ABC. A * B und alle 

 diejenigen Punkte C, bei denen O ABC ein Punkt wäre, bilden, 

 die (absolute) Gerade AABB. Liegt dagegen C außer AABB^ 

 so wird als Grundsatz aufgestellt, daß O ABC eine einfache, 

 gleichförmige, geschlossene Linie sei. 



Ein weiterer Grundsatz besagt, daß es, wenn C außer AABB 

 liegt, zu jedem Punkte JD einen Punkt E gebe, der in Ansehung 

 von A ^ B * C mit D symmetrisch liegt; dieser Punkt E heißt 

 das Bild von D für J. * jB * C. Der Verein aller Punkte D, die 

 für A * B * C ihr eigenes Bild sind, wird als (absolute) Ebene 

 ABBC bezeichnet, und sogleich der Grundsatz aufgestellt, daß 

 die Ebene eine einfache, fortlaufende, gleichförmige Fläche sei, 

 die den Raum in zwei Stücke teile. 



Endlich wird die Bunde O AB als der Verein der Punkte 

 erklärt, deren jeder zu der Mitte A dieselbe Lage wie B hat, und, 

 nachdem noch postuliert ist, daß es für zwei Orte' 3t, 93, wenn 

 ß ^ 3t ist, stets wenigstens einen Ort ® gebe, wobei (5 * ® = 3t * ^ 

 wird, bewiesen, daß die Runde eine einfache, gleichförmige, den 

 Raum in zwei Stücke teilende Fläche ist. 



Nunmehr versucht Johann zu zeigen, daß die so definierten. 

 Gebilde: Ring, Gerade, Ebene, Runde dieselben Eigenschaften 

 besitzen, die in der gewöhnlichen Geometrie der Kreislinie, der 

 Geraden, der Ebene, der Kugeloberfläche beigelegt werden, z. B., 

 daß eine Ebene durch beliebige drei ihrer Punkte vollständig 

 bestimmt ist, daß eine Gerade, die zwei Punkte mit einer Ebene 

 gemein hat, ganz in diese fällt, daß eine Kugeloberfläche durch 

 jede Gerade (Strahl) aus ihrer Mitte in einem und nur einem Punkte 

 geschnitten wird, u. s. w. Hierbei gerät er jedoch auf Schwierig- 

 keiten, was schon äußerlich dadurch kenntlich wird, daß nach 

 den betreffenden Lehrsätzen in dem Manuskripte leerer Raum 

 gelassen ist, der erst später ausgefüllt werden sollte. Der Grund ist 

 wohl, daß für die Gerade kein entsprechender Grundsatz wie für 



