JOH. BOLYAIS RAUMLEHRE. 9 



den Ring und die Ebene aufgestellt worden war, sodaß ihre 

 Stetigkeit und Gleichförmigkeit noch nicht feststeht; Randbemer- 

 kungen Johanns deuten darauf hin, daß er selbst die Sache in 

 dieser Weise aufgefaßt hat. 



Den Schluß des ersten Teiles bilden Sätze über das Senk- 

 rechtstehen von Greradeu und Ebenen, bei denen der Begriff des 

 Bildes sich als sehr nützlich erweist. Johann begegnet sich hier 

 mit modernen Untersuchungen, die gezeigt haben, daß die elemen- 

 tare Geometrie sich erheblich einfacher und durchsichtiger ge- 

 staltet, wenn von vorn herein der Begriff der Spiegelung an einer 

 Ebene (und an einer Geraden) eingeführt wird*. 



Wer Wolfgang Bolyais Conspedus geometriae (Tentamen. 

 t. I. 1832) oder auch dessen Kurzen Grundriß eines Versuches 

 (1851) gelesen hat, wird die nahe Verwandtschaft der Betrach- 

 tungen des Vaters und des Sohnes sofort erkennen. Unter- 

 scheidend ist einmal die starke Benutzung des Bildes, wobei 

 freilich nicht übersehen werden darf, daß schon Wolfgang zu 

 einer Zeit, wo das sonst noch nicht geschah, die Wichtigkeit des 

 Begriffes der Symmetrie gebührend hervorgehoben hatte, dann aber, 

 daß die Kugel bei Johann zurücktritt, während sie bei Wolf- 

 gang den Ausgangspunkt der ganzen Betrachtung bildet und aus 

 ihr allein Kreis, Gerade, Ebene hervorgehen. Johann war damit 

 nicht einverstanden. „Die Gerade aus der Kugelfläche ableiten 

 zu wollen", sagt er einmal, „ist nicht nur unzulänglich, sondern 

 ganz unnatürlich imd nichtig, denn obschon der Begriff der Kugel 

 in der That einfacher ist und selbst ihre Erzeugung als einfacher 

 als jene der Ebene angesehen werden kann, so kann man doch 

 nur sagen, daß AABB in jeder Runde um A einen Punkt Jiabe, 

 ohne irgend einen solchen Punkt 'selbst wirklich zu finden.^' 



Hierin kommt ein Gedanke zum Ausdruck, auf den Johann 

 großen Wert gelegt hat, denn in dem zweiten Teile, zu dem jetzt 

 übergegangen werden soll, beschäftigt er sich ausschließlich mit 

 der Frage, wie man Orte finden könne. 



* Vgl. E. Study, Von den Beivegiingen und Umlegungen. Math. Ann. 39 

 (1891), S. 441 — 566 und H. Wiener, Sechs Äbhandhmgen über das Bechnen 

 mit Spiegelungen, Berichte der Königl. Sachs. Ges. d. Wiss., math.-phys. Kl. 

 Leipzig 1890, 1891 und 1893. 



