ÜBER FALLE DER GAUSZSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG. 225 



Folge der für sie gültigen komplexen Multiplikation ergeben, 

 welche wir auf Grund der Differentialffleictiuno- erhalten. 



Die Grleichung (I) hat, abgesehen von den Permutationen, 

 nur folgende vier Auflösungen:* 



^i = i, ^2 = -\, ^3 = 



«^1 = Y, ^-2 = -h <^3 = i 

 ^1 = Y; ^2 = -h ^3 = i 

 "l — 3 ? "2 — 3 ; "3 — 3 • 



Die Differentialgleichung ist aufstellbar aus dem Zusammen- 

 hange, in welchem die Zahlen d^, 60, d.^ mit den in der GrAUSZ- 

 schen Differentialgleichung 



x(l- x) ^ -^[y - (a -{- ß + l)x]^£- aßu = 



vorkommenden Konstanten a, ß, y sind, und nach welchem 



1— y = dy, y — cc — ß = d.2 , a — ß = d^ . 

 ist. 



Da von den genannten vier Fällen der erste eine einfache 



periodische Funktion bietet, erhalten wir nur in den drei letzten 



Fällen doppeltperiodische Funktionen, welche wir in der angegebenen 



Reihenfolge behandeln. 



I. 



"1 2 7 "2 4 ; "3 4 



« = i, ß = 0, y = i. 

 Die GAUSZsche Differentialg-leichuno- ist daher: 



x(l — x) u" -\- Q- — l-ic) u' = 0, 



aus welcher 



u" Y ~ f * 



%t X (x 1) 



Dies zweimal integriert, gibt das allgemeine Integral: 



r dx , 



J x'-^ (x — 1)T 



u = c 



'(x—iy 



wo c und c Integration skonstanten sind, so daß 



* Vgl. z. B. Schlesinger, 1. c. 

 Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. XIX. 15 



