ÜBER FÄLLE DER GAUSZSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG. 227 



des in der Tlieorie der linearen Differentialgieiciinngen üblichen 

 Verfaki'ens folgendermaßen.* 



Die singulären Punkte der Düfferentialgleichnng sind ic = 0, 1, oo 5 

 wenn wir also die Punkte und 1 mit dem unendlich fernen 

 Punkte mittels den Querschnitten Z^ und \ verbinden, erhalten 

 wir eine Fläche, in welcher rj eine eindeutige Funktion von x ist. 

 Die Abbildung der auf diese Weise auf Grund der Relation (1) 

 zerschnittenen a;-Ebene auf die -j^-Ebene wird das gesuchte Bereich 

 sein. Es ist dies ein Viereck, dessen Seiten den je zwei Ufern 

 der die Grenze der zerschnittenen ic-Ebene bildenden Querschnitten 

 \ und ?2, dessen Ecken aber den Ecken der erwähnten Grenzlinie, 

 d. h. den Punkten x = 0, 1, und 00 entsprechen, und in welchem 

 die Summe der Winkel zufolge der Relation (I) gleich 2jr ist. 

 Wenn wir die Gestalt der Querschnitte l^ uad \ zweckmäßig 

 wählen, erreichen wir, daß die Seiten des in der -jj-Ebene gelegenen 

 Viereckes gerade Linien werden; die Ecken aber liefern die 

 Doppelpunkte jener Substitutionen, welche iq erfährt, wenn x die 

 Querschnitte l^ und l^ im positiven Sinne überschreitend die sin- 

 gulären Punkte umläuft.** Bestimmen wir diese x unverändert 

 lassenden Substitutionen. 



a) In der Umgebung des Punktes x = ist 



ri = 2cx^ (öo -^d^x^---), c = \y\--> 



wenn also" x den Querschnitt l^ in positivem Sinne überschreitet, 

 geht )] in — iq über, d. h. es erfährt die Substitution 



deren Doppelpunkt 1^ = ist; dieser entspricht dem Punkte 

 X = 0, was auch aus der Gleichung (4) unmittelbar ersichtlich ist. 



b ) In der Umgebung des Punktes x = 1 ist es zweckmäßig, 

 iq in dieser Form zu schreiben: 



/dx . {* dx 

 ^ + n- — 

 x^ (x — lY J x^ (x — 



Vgl. Schlesinger, Handbucb. etc. Bd. 11. 1, Nr. 208, 209. 

 Vgl. ScHLEsiNGEK, Handbuch etc. Bd. 11, 2, Nr. 289. 



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