ÜBER FÄLLE DER GAUSZSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



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negativen Ufer von l^, bezw. ?2 entsprechenden Seiten, weshalb 

 zwischen ihren entsprechenden Punkten folgende Relationen be- 

 stehen : 



S^ ^^ Oj S-^ j §2 = ^2 ^2 • 



Wir sehen ferner, daß der schraffierte Teil von F^ das Spiegel- 

 bild des unschraffierten Teiles in Bezug auf die und K ver- 

 bindende Gerade ist. 



Innerhalb Fq nimmt x jeden Wert nur einmal an; wenn x 

 mit Überschreitung eines Querschnittes zum Ausgangspunkte 

 zurückkehrt, tritt ly aus Fq hinaus, weil es die Substitutionen ;S^^, 

 So, resp. deren Inverse erfährt, bei deren Anwendung auf 7] sich 

 Fq in die benachbarten ihm kongruenten Vierecke verwandelt, 

 weshalb in den entsprechenden 

 Punkten der so entstehenden 

 Vierecke die Werte von x die- 

 selben sind. Wenn x die singu- 

 lären Punkte auf alle mögliche 

 Weise umläuft, so wird die ganze 

 Tj-Ebene einfach und lückenlos 

 mit Vierecken bedeckt, welche 

 sämtlich zu F^ kongruent sind 



Wird z. B. auf F^ die Substi- 

 tution yS"^ angewandt, so entsteht 

 F^, da diese Substitution tj in 



— iy] -\- (1 -\- i)K überführt und 

 so die Umdrehung des F^ um 



— 90'' und die Verschiebung um (^-f^^) ergibt. Ahnlich ent- 

 steht jPg aus Fq durch die Substitution S^, F^ aus jP^ durch die 

 Substitution S~'^, etc. . . . Die neuen Vierecke entstehen aus dem 

 ursprünglichen durch die fortwährenden Spiegelungen in Bezug 

 auf die Seiten. 



In Fig. 1 entsprechen die schraffierten Teile dieser Vierecke 

 dem schraffierten Teile von F^, und zwar so, daß auch die 

 Richtung der Schraffierung übereinstimmt, sobald man irgend 

 ein Viereck durch Verschiebung und Drehung mit F^ in Deckung 

 bringt. 



Das aus F^, F^, F^ und i^, gebildete Quadrat ist das Perioden- 



