ÜBER FÄLLE DER GAUSZSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG. 231 



ist, also X bei der Anwendung der Substitution S2 unverändert 

 bleibt. Wird hier {— irj -{- K -{- Ki) statt rj geschrieben, so er- 

 halten wir, daß auch S^'^ nichts an dem Werte von x ändert. 



Dieselbe Methode führt auch in den folgenden zwei Fällen 

 zum Ziele, und was wir hier von der untersuchten Funktion im 

 allgemeinen gesagt haben, das gilt auch bei den dort auftretenden 

 doppeltperiodischen Funktionen. 



IL 



^1 = 2; ^2 = i; ^: 



3 — % 



a 



X 



6 7 



^ = 0, j^ = i. 



oder 



Die GrAUSZsche Differentialgleichung ist 



x{l — x)u" + (-|- — lx)ii = 



"17 



u' x{x — l) 



Das allgemeine Integral der Differentialgleichung ist daher: 



/dx , , 



-T ^ + C. 

 x'^{x — • l)'^' 



Zwei Integrale, die ein Fundamentalsystem bilden, sind 



u, = 1, u^ = c , ^ 



■ {x — if 



r dx 



J x^ix— 1)^ 



beim letzteren werden wir die Konstante c und die untere Grenze 

 des Integrals später zweckmäßig wählen. 



Der Integralquotient 



tto C dx /^^ 



^=«" = ^/-T ö (1) 



**1 J X'' {X — 1)^ 



ist auch hier ein elliptisches Integral erster Gattung, welches mit 

 der Substitution 



{x-lf = {l-B^)z'^-l, £ = e~3" (2) 



in die Normalform 



