ÜBER FÄLLE DER GAUSZSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG. 235 



c) Wenn x den unendlich fernen Punkt in positiver Riclatmig 

 umläuft, so erfährt if\ die Substitution 



A3 = ^s-i^r^ = (q J(o i) = ( 1) 



mit dem Doppelpunkte 



' 1 -)- £- 



Umläuft X die Grenzlinie der zerschnittenen ::c-Ebenen; so 

 beschreibt t] die Seiten eines Viereckes, dessen Ecken der x = 

 entsprechende Punkt 7^ = 0, der x = 1 entsprechende Punkt 



n = 5 und die den zwei unendlich fernen Punkten ent- 



' 1 £- 



sprechenden Punkte K'i und S^K'i = S~^K'i = — K'i sind; 

 dessen Winkel aber: jt, -^, v und - sind. Dieses Viereck, 



rf ' b 



welches wir wieder geradseitig wählen können, ist das unter 

 Fig. 2 sichtbare jPq, in welchem die dem Querschnitte l^ ent- 

 sprechenden Seiten s^ und s^' und die dem Querschnitte l^ ent- 

 sprechenden Seiten s^ und s^ durch die Relationen 



o-t — 0-| ^1 j ^9 O9 09 



verbunden siud. 



Die übrigen, mit i^^ kongruenten Vierecke entstehen durch 

 die Anwendung der Substitutionen der aus S^^ S^ und ihren In- 

 versen gebildeten Gruppen; so entstehen F^ und F.2 durch die 

 Anwendung von S^ und S~^ auf i^^; die Anwendung von S^ auf 

 Fq, jF\ und F^ ergibt F^, F^ und F^. Diese sechs Vierecke bilden 

 das Periodenparallelogramm, was wieder zeigt, daß die unter- 

 suchte Funktion vom sechsten Grade ist. Wenn wir auf rj die 

 Substitutionen S^S^S^ und S^^S~^ anwenden, erhalten wir, daß 

 die Perioden 2K und 2K'i sind. 



Überzeugen wir uns noch unmittelbar davon, daß S-^^, S^ und 

 deren Inverse, und damit zugleich die Substitutionen der aus 

 ihnen gebildeten Gruppen, die unter (4) stehende biperiodische 

 Funktion unverändert lassen. Hier sollen wir wieder nur auf S^ 

 achten. In das unter (3) stehende Integral führen wir eine neue 

 Variable ein mit der schon gebrauchten Substitution 



5^ = £(r-l), 



