ÜBER FÄLLE DER GAUSZSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG. 237 



^ r dx 



J x^ {x — ly ' 



in letzterem werden wir die Konstante und die untere Grenze 

 des Integrals, wie in den vorigen Fällen, später zweckmäßig be- 

 stimmen. 



Der Integralquotient ist: 



. f , ^" , • (1) 



J x^ (x — 1)^ 



Dieses elliptisclie Integral geht mit der Substitution 



^■*< ' -' (x — ly 



^=i+i-^ya-^') (i + ^v) (2) 



in die Normalfoim 



_ 3|/2 r dz 



^''vr^^^J 1/(1 — s^) a 



über, und nach entsprechender Wahl der Konstanten wird: 



so daß 



V 







J(l-^^)(1 + .^^^)' ■ ^^) 



ä; = |- + |- i/o (1 — £^) sn i^ cn rj dn tj. (4) 



Die Perioden sind wieder 2K und 2K'i, ihr Quotient, ebenso 



n i 



wie im vorigen Falle, e^ = — £^, das Periodenparallelogramm 

 ist wieder ein Rhombus, x ist eine doppeltperiodische Funktion 

 dritten Grrades von tj. 



Um die Substitutionen, welche den Wert der doppeltperiodi- 

 schen Funktion nicht ändern, zu bestimmen, nehmen wir in Be- 

 tracht, daß nach (2) den Werten 



^ = 0, 1, oo 

 die Werte 



— 1 1 



= 



9' t/; 5' 



yriTii' yi- 



entsprechen, und bei ^ = nach derselben Gleichung x = -|- ist. 

 a) In der Umgebung des Punktes x = zerlegen wir das 



