240 MICHAEL HABAN. 



bedeckt. So erhalten wir durch Anwendung der Substitutionen 

 S^, Ä-i; S,, S-' der Reihe nach F^, F^-, F^, F^. Die Substi- 

 tutionen Sj' ^ S^ und ^3 S'^ ^, durch deren Anwendung t] mit 2 K, 

 respektive mit 2K'i wächst, zeigen, daß 2K und 2K'i wirklich 

 Perioden sind. Aus Fig. 3 ist ersichtlich, daß ein Perioden- 

 parallelogramm drei solche Vierecke enthält, in deren Innern 

 X jeden Wert nur einmal annimmt; im gegenwärtigen Falle sind 

 aber nicht drei vollständige Vierecke in einem Periodenparallelo- 

 gramme, weil die Seiten des Parallelogrammes die Vierecke 

 durchschneiden. Jenes Periodenparallelogramm, dessen Ecken 

 — K'i, 2K—K'i, 2K+K'i, K'i sind, wird durch F^, durch 

 die eine Hälfte des Fq und die andere Hälfte des F^, welche 

 zusammen einen ganzen Ehombus bilden, und durch je eine Hälfte 

 von F^ und F,^ gebildet. 



Endlich können wir uns noch davon überzeugen, daß die 

 ■Substitutionen ^i, S.^, und deren Inverse die unter (4) stehende 

 biperiodische Funktion, respektive das Produkt sn 7j cn >j du -jj, 

 nicht ändern. 



Aus der unter (6) stehenden Formel des H-ten Falles folgt, daß 

 sn {E^ri -\- K) cn {a~ri + K) dn {a^r] + ^) = + sn 77 cn ?^ du jj, 

 wo aber nur das positive Zeichen stehen kann. Wenn wir näm- 

 lich voraussetzen, daß das negative Zeichen gelte, und dann in 

 unserer Gleichung für i] zweimal nacheinander (a^y] -\- K) setzen, 

 so gelangen wir zu folgendem Resultate . 



sn 7^ cn tj dn r/ = — sn ?; cn r] dn ■); , 

 was unmöglich ist. Daher ist 



sn {a'^iq -{- K) cn {e^i] -{- K) dn {a^iq -|- ^) = sn -jj cn 7^ dn r; . 

 Dies zeigt, daß x bei Anwendung der Substitutionen S~'^ und 

 ^2 auf ri unverändert bleibt. Wenn wir noch in Betracht nehmen, 

 daß 2K eine Periode des obigen Produktes ist, so sehen wir 

 sofort, daß auch Sv^ und S^ den Wert von x nicht ändern, da 

 S~^ für ri den Ausdruck a'^r] — K setzt. 



Wie in den vorigen Fällen, bleibt auch hier unsere doppelt- 

 periodische Funktion unverändert bei Anwendung sämtlicher 

 Substitutionen, welche aus diesen einfachen Substitutionen durch 

 Komposition entstehen. 



