ÜBER FÄLLE DER GAUSZSCHEN DIFFERENTIALGLEICHUNG. 241 



Wir haben also gesehen, daß die unabhängige Variable der 

 "ÜAUSZschen Differentialgleichung in den hier erörterten drei 

 FäUen eine eindeutige doppeltperiodische Funktion des Integral- 

 quotienten ist, und zwar im I. Falle vierten Grades, im IL Falle 

 sechsten und im III. Falle dritten Grades; der Grad ist also der 

 kleinste gemeinsame Nenner der Größen d^, d'^, d.. Die unab- 

 hängige Variable haben wir mit gewöhnlichen doppeltperiodischen 

 Funktionen dargestellt , und zwar mit diesen auf ganze rationale 

 V7eise. Gerade so können wir solche Darstellung erhalten, bei 

 ^welchen x als gebrochene rationale Funktion von sn?;, Gnt^jdnrj 

 erscheint; dazu ist nur nötig, daß wir bei der Umformung des 

 «llij^tischen Integrals erster Gattung auf die Normalform unter 

 den möglichen (24) Substitutionen eine gebrochene lineare Sub- 

 stitution wählen. Die unabhängige Variable wird auch dann eine 

 doppeltperiodische Funktion vierten, sechsten, resp. dritten Grades. 

 Wir haben ferner jene Substitutionen bestimmt, bei deren An- 

 wendung diese doppeltperiodische Funktionen unverändert bleiben 

 .und erhielten, daß diese Substitutionen im wesentlichen nur die 

 Multiplikation des ri mit einer gewissen komplexen Zahl (i, s, s^) 

 ■erfordert, und damit ist dargelegt, daß diese Funktionen eine 

 komplexe Multiplikation haben. Wie es übrigens bekannt ist*, 

 sind diese drei Fälle die einzigen, in welchen die komplexe 

 Multiplikation solche Eigenschaft besitzt, daß sn arj von sn 7] 

 sich nur durch einen konstanten Faktor unterscheidet, wenn wir 

 nämlich den Multiplikator mit a bezeichnen. 



* Vergl. BuRKHAEDT, Elliptisclie Funktionen, p. 292. 



-Mathematische und Naturwissenschaflliche Berichte aus Ungarn. XIX. 16 



