330 LEOPOLD FEJEE. 



Bilden wir weiter 



OD 



(t, (p) = ^ (a„ cos ncp -\- b^^ sin nip) er"^""^ . (2) 



71 = 



Diese Reihe konvergiert für t > 0, genügt auf der rechten Halb- 

 ebene der Wärmeleitunffsgleicliung 



dt dcp^ 

 und geht für lim r = stetig in f((p) über.* 



U. s. w. 



In den folgenden Zeilen wollen wir kurz zeigen, wie man 

 diese (und ähnliche) Sätze durch eine gemeinschaftliche Methode 

 beweisen kann. 



Wichtig ist dabei folgender allgemeiner GrenswertsatB: 



00 



Es sei ^u^ eine Reihe, für welche der Grenzwert 



71=0 



lim^" + ^- + -+^^^' 



existiert. Es sei ferner (p{t) eine Funktion, welche folgenden 



Bedingungen genügt: 



9^(0) = 1 

 und 



\^(f)\, 





<-J+i^ wenn ^ > 0, 



wo M, Q positive Konstanten bedeuten. Dann ist die Reihe 



cc 



F(t)'^^u^g^(nt) 



71 = 



für jedes positive t konvergent und 



lim F{t) = S. 

 t = + o 



Zusatz: Sind die u^^ Funktionen eines Parameters g) und kon- 

 vergiert 



«o('P) + «iM + ••• + ««-iC«?) 



* Dies ist ein bekannter Satz von Weieksteasz. Vergl. übrigens: 

 PicARD, Traite d'Analyse, denxieme edition, t. I und Poincaki5: Propagation 

 de la chaleur. 



