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De la courbure des surfaces, et sohil'ion d'un cas parùcudcr 

 de la perspective des surfaces courbes; par M. Haci-iette. 



L'œii, du spectaîeur étant considéré comme un point, le cône qui a 

 ce point' pour sommet, et qui est circonscrit à une surface donnée de 

 forme et de position , touche cette surface suivant une ligne qu'on 

 nomme contour apparent. Cette ligne, plane sur les surfaces du second 

 degré, droite sur les surfaces développables, est en général une courbe 

 à double courbure; mais il peut arriver que l'un des rayons visuels, 

 -arête du cône circonscrit, soit une tangente du contour apparent. C'est 

 ce cas particulier que M. Hachette avait remarqué depuis long-temps 

 dans son Cours de géométrie descriptive à l'tcolc Polytechnique, et 

 qu'il a résolu par la géométrie et par l'analyse. 



Solution géométrique. 



Les surfaces se divisent en deux grandes disses; les unes pour les- 

 quelles les deux rayons de courbure principaux sont de même côté par 

 rapport au plan tangent; les autres pour lesquelles les rayons sont 

 opposés, ou, suivant l'ex|)ression reçue, de signes contraires. Une sur- 

 face individuelle peut aussi être composée de plusieurs zones, dont les 

 courbures présenteraient les mêmes différences , et la solution de la 

 question proposée ne s'applique qu'aux surfaces ou portions de surfaces 

 pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont en chaque point 

 de signes contraires. Parmi ces surfaces, M. Hachette distingue, comme 

 la plus simple , l'hyperboloïde de révolution , dont on connaît trois 

 modes de génération, savoir, deux par la ligne droite, et le troisième 

 par une hyperbole qui tourne autour de son axe imaginaire; il déter- 

 mine les valeurs des paramètres de cet hyperboloïde, pour qu'il devienne 

 osculateur d'une surface, en un point donné. 



De i' hyperboioïde de révolution oscuiateur d'une surface. 



Les plans rectangulaires du cercle de gorge et de l'hyperbole méri- 

 dienne d'un hyperboloïde de révolution se coupent, et, pour le point 

 d'intersection, les rayons de courbure principaux sont égaux aux rayons 

 de courbure de ces deux sections normales. ÎNommant A l'angle que la 

 droite génératrice de l'hyperboloïde fait avec le plan du cercle de gorge, 

 R le rayon de ce cercle, R' le rayon de courbure opposé de l'hyperbole 

 méridienne, on trouve que ces trois quantités sont liées entre elles p:\r la 

 relation suivante : 



R' = R tang^ A. 



Pour que l'hyperboloïde soit osculateur d'une surface , en un point 

 donné, en supposant que ce point coïncide avec un point du cercle d<; 



1823. 



MATnÉMATlQVES. 



