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 polynômes e,,,<?7 on soit obligé de faire croître 3/ j on cherchera parmi tous 

 les polynômes restants un troisième polynôme tel, qu'en égalant cfe der- 

 nier polynôme aux deux premiers, on obtienne pour y la plus petite 

 valeur positive possible. Soit Cr le troisième polynôme dont il s'agit. 

 L'équation double 



déterminera pour oc et y un nouveau système de valeurs que je repré- 

 senterai par 



et ce système pourra être celui qui doit résoudre la question proposée. 



Il la résoudra effectivement, si pour des valeurs de y supérieures à 61 

 le polynôme er égalé à celui des polynômes Cp, e^, où le coefficient d'x 

 a un signe contraire, devient supérieur à la valeur commune des trois 

 polynômes e^,, e,, e^ correspondante au système ' 



ce =: «1 y :=: £,, 



Dans le cas contraire, soit Cq celui des deux polynômes Cp, e^ où le coeffi- 

 cient d'à? est de signe opposé au coefficient de la même variable dans Cr : 

 on cherchera un nouveau polynôme Cs tel que l'équation double 



détermine la plus petite valeur positive possible de y — €,. Alors on 

 obtiendra un nouveau système de valeurs d'tcet d'y, que je désignerai par 



et qui pourra résoudre dans beaucoup de cas la question proposée. 



En continuant de même, on essayera successivement plusieurs systèmes 

 de valeurs d'x et d'y. Pour chacun de ces syst-èmes trois polynômes au 

 moins deviendront à la fois positifs, égaux entre eux et supérieurs à tous 

 les autres. Le nombre des essais ne pourra donc jamais surpasser le 

 nombre des systèmes qui jouissent de cette propriété remarquable. Il 

 s'agit maintenant de déterminer la limite de ce dernier nombre. 



Pour y parvenir, il est nécessaire d'observer que, si l'on donne aux 

 deux variables ce et y des valeurs déterminées, ou pourra former relati- 

 vement au système de ces valeurs, trois hypothèses différentes. En effet 

 il pourra se faire, 1° que pour le système dont il s'agit un seul polynôme 

 devienne supérieur à tousjes autres; 2° que deux polynômes ep^ Cq devien- 

 nent égaux entre eux et supérieurs à tous les autres; 5° que trois polynômes 

 au moins e^, e, , e^ soient égaux entre eux et supérieurs à tous les autres. 

 Si la première hypothèse a lieu, elle subsistera encore, lorsqu'on fera 

 varier séparément ce e\ y entre certaines limites. Si la seconde hypothèse 

 a lieu, elle subsistera encore, lorsqu'on fera varier a? et centre certaines 

 limites, de manière toutefois que l'équation ep = eq soit toujours satis- 



