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faite. Mais si la troisième hypothèse a lieu, elle subsistera uniquement 1024. 



pour le. système de valeurs d'à; et d'y déterminé par l'équation double 



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Suivant que l'un ou l'autre de ces trois cas aura lieu, je dirai que le sys- 

 tème donné est du premier, du second ou dii troisième ordre. Cela posé, 

 les théorèmes l^"", 5°'", 9""= et 10"= du Mémoire présenté àl'Inslitul, suffi- 

 ront pour déterminer la limite du nombre d'essais qu'on sera obligé de 

 faire, dans le cas où l'on ne considère que deux éléments. Nous allons 

 réduire ces quatre théorèmes à ce qu'ils doivent être dans le cas parti- 

 culier dont il s'agit. 



Théorème IV"". 



Si l'on passe successivement en revue tous les systèmes possibles de 

 valeurs d'à; et d'y, on trouvera que les systèmes du premier ordre ont 

 pour limites respectives les systèmes du second ordre, et que ceux-ci ont 

 eux-mêmes pour hmites les systèmes du troisième ordre. 



Démonstratiori. Comme pour chaque système de valeurs d'a> et d'y 

 il est nécessaire qu'au moins un polynôme surpasse tous les autres, les 

 divers systèmes de valeurs d'as et d'y se trouveront répartis par groupes, 

 SI je puis m'exprimer ainsi , entre les divers polynômes donnés. Dans 

 quelques-uns de ces groupes les valeurs des variables resteront toujours 

 finies, dans d'autres elles pourront s'étendre à l'infini. De plus, comme 

 on ne pourra sortir d'un groupe sans passer dans un autre , on rencon- 

 Irei"» nécessairement dans ce passage des systèmes pour lesquels deux 

 polynômes à la fois deviendront supérieurs à tous les autres. Ainsi les 

 systèmes du second ordre serviront de limites respectives aux différents 

 groupes entre lesquels se trouveront répartis les systèmes du premier 

 ordre. 



Considérons maintenant un système quelconque du second ordre, par 

 exemple, un de ceux pour lesquels les deux polynômes e^, , e, deviennent 

 à la fois égaux entre eux el supérieurs à tous les autres. Si l'on fait varier 

 en même temps oc et y, mais de manière à laisser toujours subsister 

 l'équation e^, = e^, on obtiendra, du moins entre certaines limites, de 

 nouveaux systè^nes du second ordre semblables à celui que l'on consi- 

 dère, et pour chacun de ces systèmes ia valeur commune des deux po- 

 lynômes Cp, Cq sera supérieure à celle de tous les autres polynômes. Mais 

 si l'on fait croître ou décroître l'une des variables, y par exemple, d'une 

 manière continue,- il arrivera un moment où les deux polynômes e^,, e, 

 se trouveront «gales par un troisième. Ainsi la série des systèmes du second 

 ordre qui correspondent à une même équation entre deux polynômes 

 donnés, aura en général pour limites deux combinaisons du troisième 

 ordre, l'une de ces limites étant relative à des valeurs constantes de 

 y, et l'autre à des valeurs décroissantes de la même variable. Il peut 



