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 néanmoins arriver que l'une de ces deux limites s'éloigne jusqu'à l'infini. 



Remarque. II est facile de donner au théorème précédent une inter- 

 prétation géométrique. En effet, concevons que les divers polynômes 



6[, ^2 .... Cn, Cfi -[-Il C?t 4- 2 .... ^2 n, 5 



tous du^ premier, degré en a; et y, représentent les ordonnées d'autant 

 de plans différents les uns des autres, et que l'on ait seulement égard à 

 la portion de chacun de ces plans qui, pour certaines valeurs d'cc et dy, 

 devient supérieure à tous les autres. Les portions des divers plans qui 

 jouissent de cette propriété formeront ui> polyèdre convexe ouvert dans 

 sa partie supérieure; et, si par un point quelconque du plan des a?, y on 

 élève une ordonnée, cette ordonnée rencontrera une face , une arête, ou 

 un sommet du polyèdre , suivant que le système de valeurs duc et d'y 

 qui détermine le pied de l'ordonnée sera du premier, du second ou du 

 troisième ordre. Cela posé, le théorème précédent se réduit à dire que 

 les projections des faces du polyèdre ont pour limites les projections des 

 ) arêtes, et que celles-ci ont elles-mêmes pour limites les projections des 

 sommets. 



Théorème V"°. 

 Si au nombre des groupes formés par les systèmes du premier ordre 

 on ajoute le nombre des systèmes du troisième ordre, la somme surpas- 

 sera d'une unité le nombre des séries formées par les divers systèmes du 

 second ordre. 



Démonstration. Il suit du théorème précédent, i° que les groupes 

 formés par les divers systèmes du premier ordre ont pour limites les 

 systèmes du second ordre; 2° que les systèmes du second ordre qui 

 servent de limites à un même groupe de systèmes du premier ordre, 

 sont partagés en plusieurs séries, dont chacune a elle-même pour limites 

 deux systèmes du troisième ordre, à moins toutefois qu'une de ces li- 

 mites ne s'éloigne vers l'infini. Si donc on augmente d'une unité le nom- 

 bre des systèmes du troisième ordre pour tenir lieu des limites qui di- 

 vergent vers l'infini, on se trouvera placé dans. des circonstances tout-à- 

 fait semblables à celles qui auraient lieu si les systèmes du premier et du 

 second ordre ne pouvaient s'étendre qu'à des valeurs finies d'sc et d'y. 

 Soient maintenant 



M, le nombre des groupes formés par les systèmes du premier ordre, 

 M2 le nombre des séries formées par les systèmes du second ordre-, 

 M5 le nombre des systèmes du troisième ordre , 



M:, •-(- 1 sera ce dernier nombre augmenté de l'unité; et, pour démon- 

 trer le théorème ci-dessus énoncé, il suffira de faire voir que l'on a 



(3) ■ M. + M5 = M2 +1. 



Ori'y parvient facilement comme il suit. 



