Nous avons déjà remarqué qu'à chaque système du premier ordre 1824. 



correspondait un polynôme supérieur à tous les autres; à chaque système 

 du second ordre, deux polynômes supérieurs à tous les autres; et à 

 chaque système du troisième ordre, trois ou un plus grand nombre de 

 polynômes supérieurs à tous les autres. Cela posé, il sera facile de voir 

 que, si les systèmes du premier ordre qui correspondent au polynôme Cp 

 ne peuvent s'étendre à des valeurs infinies* d'à; et d'y , les séries de sys- 

 tèmes du second ordre correspondants à ce même polynôme seront en 

 nombre égal à celui des systèmes du troisième ordre qui leur servent de 

 limites. Car chaque série de systèmes du second ordre aura nécessaire- 

 ment pour limites de»ix systèmes du troisième ordre, et réciproquement 

 chacun de ces derniers servira de limites à deux séries de systèmes du 

 second. Soit maintenant Cq un polynôme qui , conjointement avec le poly- 

 nôme e^, corresponde à une série de systèmes du second ordre; et sup- 

 posons encore que les systèmes du premier ordre qui correspondent au 

 polynôme e^ ne puissent s'étendre à l'infini, les systèmes du troisièitie 

 ordre qui correspondront à la fois aux deux polynômes Cp, eq seront au 

 nombre de deux. Par suite le nombre des séries de systèmes du second 

 ordre , qui correspondront au polynôme Cq sans correspondre au poly- 

 nôme Pp. surpassera d'une, unité le nombre des systèmes du troisième 

 ordre, qui correspondront au premier polynôme sans correspondre au 

 second : d'où il est aisé de conclure que le nombre des séries ^e systèmes 

 du second ordre qui correspondront à l'un des polynômes Cp, e, , surpas- 

 sera dune unité le nombre des systèmes du troisième ordre correspon- 

 dants à ces mêmes polynoines. En général désignons sous le nom de sys- 

 tèmes conligus du premier ordre, ceux qui ont pour limite commune une 

 même série de systèmes du second ordre; et soient e^, Cq, Cr, e^, et ■ ■ • 

 une suite de polynômes correspondants à des systèmes du premier ordre , 

 tous contigus les uns aux autres, et dans lesquels les valeurs des va- 

 riables ne puissent s'éfendre à l'infini. On fera voir, par des raisonne- 

 ments semblables aux précédents, 1° que le nombre des séries de systèmes 

 du second ordre correspondants à 1 un des trois .polynômes e^,e , Cr , 

 surpasse de deux unités le nombre des systèmes du troisième ordre qui 

 leur correspondent; 2° que le nombre des séries de systèmes du second 

 ordre qui correspondent à l'un des quatre polynômes Cj,, Cq, Cr, Cs , 

 surpasse de trois unités le nombre des systèmes du troisième ordre 

 correspondants à ces mêmes polynômes, etc. ... Si donc l'on désigne 

 par Ni le nombre des polynômes Cp, Cq, Cr , c, , e'c . . . . 



par Nj le nombre des séries de systèmes du second ordre qui corres- 

 pondent à l'un d'eux, 



par Nj le nombre des systèmes du troisième ordre qui correspondent à 

 l'un de ces mêmes polynpmeSj on aura généralement 



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