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N. = Ns + N, — 1 , 



ou (6) N, + Ns = N. + 1. 



D'ailleurs, si l'on suppose que la série e^, e, ,• Cr, es, et .... renferme 

 tous If s polynômes donnés, à l'exception d'un seul, et que l'on veuille 

 passer de l'hypothèse où quelques systèmes du premier et du second 

 ordre s'étendent à l'infini , à celle dans laquelle tous les systèmes ne 

 pourraient s'étendre qu'à des valeurs finies A' oc et d'y, il faudra faire 



N. = M. — 1, 



N3 = M3 + !.. 



Cela posé, l'équation (6) deviendra 



M. + M3 = M, 4-1- 

 c. q. f. d. 



Remarque. Le théorème précédent peut s'interpréter, en géométrie, 

 de la manière suivante. 



Dans un polyèdre ouvert par sa partie supérieure, la somme faite du 

 nombre des faces et du nombre des sommets surpasse d'une unité le 

 nombre des arêtes. 



Pour déduire cette proposition du théorème d'Eulcr, il suffit de con- 

 sidérer uu*^ polyèdre fermé, et de concevoir que dans ce polyèdre les 

 diverses arêtes qui concourent à un même sommet pris dans la partie 

 supérieure, s'écartent l'une de l'autre et divergent vers l'infini. 



Théorème IX"". 



Chaque système du troisième ordre sert de limite au moins à trois 

 séries de systèmes du second ordre. 



■ 



Démonstration. En effet, chaque système du troisième ordre corres- 

 pond au moins à trois polynômes e^, e, , e^ • • • ■ De plus, parmi les séries 

 de systèmes du second ordre qui correspondent à l'un de ces polynômes, 

 il y en a toujours nécessairement deux qui ont pour limite commune le 

 système du troisième ordre que l'on considère; et réciproquement les 

 séries de systèmes du second ordre, qui ont ce dernier pour limite, cor- 

 respondent toujours à deux deS polynômes dont il s'agit. Par suite le 

 nombre de ces séries est toujours égal àr celui des polynômes e^, e^ , e^ . . . ■ 

 Il est donc au moins' égal à 3. 



Interprétation géométrique. Trois ai'êtes au moins d'un polyèdre se 

 réunissent toujours à chacun de ses sommets. 



Corollaire. Soit toujours Ms le nombre des systèmes du troisième 

 ordre , et Mi le nombre des séries formées par les systèmes du second 



