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ordre. Puisque chaque système du troisième ordre sert de limite au ^ 4* 



moins à trois séries de systèmes du second ordre, et que chaque série 

 a pour limites un seid ou tout au plus deux systèmes du troisième ordre, 

 on aura nécessairement 



3M3 <2M2. 

 Cette inégalité, jointe à l'équation (3) suffit, comme on va le voir, 

 pour déterminer une limite du nombre d'essais qu'exige la méthode 

 proposée. ^ 



Théorème X"'^. 



Le non)brc d'essais qu'exige la méthode proposée ne surpasse jamais 

 le double du nombre des polynômes qui peuvent devenir supérieurs à 

 tous les autres. 



Démonstration. En effet, le nombre d'essais qu'exige la méthode 

 proposée ne surpasse jamais le nombre des systèmes du troisième ordre 

 désigné ci-dessns par M:-,. D'ailleurs le nombre des polynômes qui peu- 

 vent devenir supérieurs à tous les autres, est égal au nombre des systèmes 

 du premier ordre désigné par M,. Il suffira donc de faire voir qu'on a 

 toujours 



M3 <2M.. 



Or on a, en vertu de l'équation (5), 



(3) Ma + 1 = ah + M, . 



et, en vertu du théorème ix, . 



En ajoutant, membre à membre, cette dernière inégalité à l'équation (5), 

 on aura 



1 + ^M3<M,, 



et pa*suite M3 < 2 (Mi — j) < ^M,. c. q. f. d. 



Interprétation géométrique. Dans un polyèdre ouvert par sa partie 

 supérieure , le nombre des sommets ne peut surpasser le double du 

 nombre des faces. • 



Corollaire. Comme le nombre des polynômes qui peuvent devenir 

 supérieurs à tous les autres est tout au plus égal au nombre des poly- 

 nômes que l'on considère, c'est-à-dire, au double du nombre des obser- 

 vations , le nombre d'essais qu'exige la méthode proposée ne peut jamais 

 surpasser le quadruple du nombre des observations. Ainsi la limite du 

 nombre des' essais est simplement proportionnelle au nombre des obser- 

 vations données. 



