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 NoLe sur un théorème d'analyse. 



1824. 



Institut. 



•22 lévrier i8c4- 



TaÉoRÈsiE. Soient MATuÉJiATtQrEs. 



(1) f {x) ■— k {ce — a) (a? — h) {oc^c). . . = kx,"^ + ^x"»-' -f . . + pa? + 7, 

 et 



(2) F(a;) ^ K.(a;— A) (ce— B) [x—C^ . . . =Kx^ +.Lcc«-' + . . + Px-\- Q, 



deux poiynoines en x, le premier du degré m, le second du degré n; 

 soit d'aiUeurs 1\ une quantité constante. On pott/t^ra toujours former 

 deux autres polynômes u, v , le premier du degré n — i, le second 

 du degré m — 1 , et qui seront propres à vérifier l'équation 



(5) u{{x) + v¥ {x) =:R. 



Démonstration. En vertu de la formule d'interpolation de Lagrange, 

 la somme des produits de la forme , f c ^ 



^f^ F (x} 

 1\ ( a;— ^) {x~c).... (ce— A) (a; — B) {x — C)... _ œ — a ^ ' 



(a — é) (« — c) .... (a — A) (a — B) fa — C)7TT ~ f'(«,). F(a)' 



et des produits de la forme „ , , 



^ (ce— fl) {x~i) [x-c) .... (x-B) (x-C)... _ ^ '^^^ x — A 

 (A -a) (A— *) (A— c) .... (A — B) (A— C) ... ™ f ( A ). F' (A)' 



sera équivalente à R. Par conséquent on vérifiera l'équation (3) en prenant 



^cc — Aj -f yx — By -\-- yx— C 



(4) w = R j f(Ay:i^'"(Â") f (B). f"* (F) lYcT^Cc") + '^*<^- ^ ^t 



^x—aj -\- \x — ùj -)- V -y 

 (5) V = R ^ F {a), f (J) ¥l'b)7ï''{r) F(c). i' (c) + ^'^• 



Donc, etc. 



Nota. Si l'on voulait déterminer directement les polynômes w et a? 



de manière à vérifier l'équation (8) . et en réduisant leurs degrés aux 



plus petits nombres possibles, il suffirait d'observer qu'en vertu de cette 



équation l'on doit avoir, 



^ R R 



pour £c = A , u = y - ; pour x = B, u ~ y— ; etc . . . . 



B , R 

 pour ce = a , i; = — — ; pour x =l t , v= — — ; etc 



