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On connaît donc n valeurs différentes de w, et in valeurs différentes de V. 

 Cela posé, les polynômes les plus simples que l'on puisse prendre pour 

 u et V devront être en général le premier du degré n — i, le second du 

 degré m — i, et si on les détermine, par la formule de Lagrange, à 

 l'aide des valeurs particulières que nous venons d'obtenir, on retrouvera 

 précisément les équations (4) et (5). 



Corollaire i". Supposons que l'on prenne ■* 



(6) ' R = • . • . -"" 

 /^mK"(a-A) (a-B)(«-C)..(6-A) («-B) (*-€). .(c-A) (c-B) (c-C) . . ., 

 ou, ce qui revient au même, 



(7) Il = A-™F(a). F(6).F(c).. = (— 1 )'"» K» f (A), f (B). f (C)... 

 Le premier des deux produits 



F (a). F (*). F (c) . . . , f (A). f(B). f(C)... 

 sera évidemment une fonction entière et symétrique des racines de l'é- 

 quation f(a;) = o, et par conséquent une fonctioa entière des quantités 



E, L, ... P, Q, r-p, ... ^, ^; tandis que le second sera une fonction 



k k k 



L PO 



entière des quantités k,l. ..p, q ; — ...— , — . Ces conditions ne peu- 

 vent être remplies simultanément qu'autant que la valeur de R détermi- 

 née par la formule (7) est unp fonction entière des quantités k, i . . .p, ffi 

 K., L . . . P, Q. Aujoutons que, si l'on adopte cette valeur de R, les 

 équations (4) et (5) se réduiront à 



(8) . ît = 



f ^„,»K« f (B)- f (G)- f(D)-(B-C) (B-D)..(C-D)..(a;-B) (a^-C) {x~D).. + etc .: 

 V ^J (A— B) (A— C) (A— D3..(B-C) (B— D)..(C— D)... ' 



(9) V = 



¥{{>). F(c). F(d)..{h—c) {h—d)..{c—d)..{x—'b) [x—c] (cc-ti) . . + etc. 

 [a—é) [a—c] {a—d)..['b—c) {b—d)..{c—d)... ^ " 



Or les deux termes de la fraction que renferme l'équation (8) sont des 

 fonctions alternées des quantités A, B, C, D . . . , c'est-à-dire des fonc- 

 tions qui obtiennent des valeurs alternativement positives et négatives, 

 mais toutes égales, au signe près, lorsqu'on échange ces quantités entre 

 elles. De plus, la fonction alternée qui représente le dénominateur, étant 

 la plus simple de son espèce, divisera celle qui forme le numérateur 

 [voyez la première partie du Cours de l'École Polytechnique, page ^S]. 



Il en résulte que le rapport -— - sera une fonction symétrique et entière 



des racines de l'équation F {pc) = o. Donc par suite u sera une fonction 



