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*- 1 .-.' 7 / TA L P Q , , 1824. 



entière des quantités k,l . ..p, q; K, —, ... —, ^, et de la variable x. 



Parla même raison v sera une fonction entière des quantités K, L, . . .P, Q; 



^■. -7-' • • "T- -r. ^' de la variable x. On doit en conclure que 1* et v se- 



ront équivalents ou à deux fonctions entières des quantités x, k, l,. . . p, q; 

 K, L . . P, Q; ou à deux semblables fonctions divisées, la première par 

 une puissance de K, la seconde par une puissance de k. Or R désignant 

 déjà une fonction entière des quantités k, i, . . . p, (7; K, L . . . P, Q, et 

 les quantités w, v devant satisfaire à l'équation (5), la seconde suppo- 

 sition ne saurait être admise. Donc, si l'on attribue à R la valeur fournie 

 par l'équation (6) ou (7), R, u et v seront des fonctions entières des 

 quantités k, <,.../?, 7 ; K, L ... P, Q, et de la variable x, qui entrera 

 seulement dans u et v. De plus, il est aisé de voir que, dans ces fonctions 

 entières, les coefficients numériques seront toujours des nombres entiers. 



Corollaire 2". Dans le cas où l'on suppose ^= 1, K=ij les équations 

 (6) et (7) se réduisent aux suivantes : 



(10) R = 



{a-k) (a-B) («— C) . . {h—k) (é— B) (6— C) . . (c-A) (c~B) (c— C) ... 



(11) R = F (a). F (*). F (c) . . = {—i)>nn f (A), f (B). f. (C). 



Ce cas particulier, auquel on ramène facilement tous les autres , est 

 celui que nous avons considéré dans le Mémoire présenté à l'Institut le 

 22 février 1824. 



Corollaire 3.° Pour que les deux polynômes f(a3), F (a;) se changent 

 en deux fonctions entières de x et y, la première du degré m , la seconde 

 du degré n, il est nécessaire et il suffit que les quantités k, l, . . p, q 

 et K, L . . . P, Q deviennent des fonctions entières de y, des degrés 

 représentés par les nombres o, 1 ...in — 1, m, et par les nomiares 

 o, \ . . . n — \ , n. Alors, les rapports 



l p q h P Q 



y' y^~ '' 2/"*' y ' y^^^^ y^ 



se réduisant à des quantités finies pour des valeurs infinies àc y , on 

 pourra en dire autant des valeurs de a? propres à vérifier les deux équations 



i V q r^ L P Q 



kx'^A — ^cc'»-'-!-...-! — x-\ — ^=ro, et Ko;™ + r-,£c"-i+... -i- ic+- =0, 



y ym—1 ym y yU—i yn 



c'est-à-dire des rapports 



a ô c 



y' y' y " 



