et du suivant 



( 120 ) 



R 



a k\f a B\f a C\ ( b A\f'b ^\( é C\ [ c A.\ f c h\fc C 



2/ y J\y y j\y y j \y y j\y y j\y y j \y y J\y y J\y y 



Cela posé, la valeur de R, fournie par l'équation (6) ou (7), sera évidem- 

 ment une fonction entière de y, d'un degré inférieur ou tout au plus égal 

 au produit mn. De plus, si dans celte hypothèse on écrit f(aj, ?/), Fl^x^y) 

 au lieu de f(a?) et de F(a?), la formule (3) deviendra 

 (12) ui{x,y) -|- v¥[x,y) = R, 



et il est clair que toutes les valeurs de y , qui permettront de vérifier 

 simultanément les équatious 



(i5j {{Xj,y)z=o, F{x,y) =0, 



devront satisfaire à l'équation 



(i4) R = o. 



Corollaire 4°- H suit du corollaire précédent, qu'étant données deux 

 équations algébriques en x et y, l'une du degré m, l'autre du degré n, 

 on pourra toujours en déduire, par l'élimination de x, une équation eny, 

 dont le degré sera tout au plus égal au produit inn. De plus , on formera 

 aisément le premier memljre de l'équation en y, par la inéthode fondée 

 sur la considération des fonctions symétriques. 



Corollaire 5°. Lorsque les quantités k,i . . . p, q ; K, L . . . P, Q, 

 c'est-à-dire les coefficients des deux polynômes f (ce) et F (a;) se réduisent, 

 au signe près , à des nombres entiers , on peut en dire autant des coeffi- 

 cients des fonctions u et v déterminées par les formules (8) et (9) ; et la 

 \aleur numérique de la quantité R, donnée par l'équation (6) ou (7), est 

 pareillement un nombre entier. Dans ce cas, si une même valeur entière 

 de X rend les polynômes ï[x) et ¥{x) divisibles par im certain nombre p, 

 on conclura de la formule (5) que p est un diviseur entier de R. En 

 d'autres termes, si l'on adopte la notation de M. Gauss, les formules 



(i5) {[x)^o[mod.p) eX.'F [x) ^ o [■mod.p) 



entraîneront la suivante 



(16) R ^ {mod p). 



A l'aide de cette dernière formule, on déterminera facilement tous les 

 nombres entiers qui pourront être communs diviseurs des deux poly- 

 nômes i{x) et F(ck). Le plus grand de ces nombres entiers, ou le plus 

 grand commun diviseur entier des deux polynômes, sera précisément la 

 valevir numérique de R. Si cette valeur numérique se réduit à l'unité, 

 les deux polynômes n'auront jamais de communs diviseurs; ils en auront 

 une infinité, si elle se réduit à zéro. 



