Soc. rHILOM. 
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MATHÉMATIQUES. 
Supplément à la théorie des solutions jfarticuliéres des équations 
" différentielles, par le C. LACRoIx. 
Je AppaER dans ce qui suit que l’on connoisse la marche et les résultats du mémoire 
que le C. Lagrange a fait insérer parmi ceux de l’Académie de Berlin (année 1774 ). 
J’appelle, avec les CC. Laplace et Monge, solution particulière, ce que le G. Lagrange 
nomme !nfégrale particulière, parce qu'il m'a paru que cette dermère dénomination 
ne convenoit qu'aux différens cas que fournit l'intégrale complète , lorsqu'on assigne 
diverses valeurs aux constantes arbitraires. Cela posé, soient v—0 et y’ —o, deux 
équations entre les trois variables x, de z ; il résulte de ce systême d'équations, que 
deux quelconques des variables sont des fonctions de la troisième, et des constantes qui 
peuvent se trouver dans les équations proposées : si donc l'on différentie ces équations, 
et que lon y fasse ensuite dz =pdx,dy=—=qdx, on aura 
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Maintenant on peut, entre les équations # —o, w! —0, et leurs différentielles, él 
miner {rois des constantes qu’elles contiennent ; Le résultat sera une équation différentielle 
du premier ordre , que nous représenterons par dZ =0, dans laquelle les différentielles 
Fr 
se trouveront élevées à des puissances supérieures à la première, et qui, ne satisfaisant. 
pas aux équations de condition d’où dépend l'intégrabilité dans le cas de 3 variables, 
ont été désignées fort improprement, sous le nom d'équations absurdes. Le C. Monge 
a fait voir le premier qu’elles expriment toujours une infinité de courbes, douées souvent 
de propriétés intéressantes , et que leur intégrale comporte nécessairement deux équations, 
ainsi que nous venons de le prouver par leur formation. Il est facile de voir qu'une 
équation de cette nature peut dériver d'un nombre infini de systêmes d'équations es= 
sentiellement différens; mais ce qui mérite altention, c’est que souvent on peut parvenir 
à un systéme d’équation qui, renfermant une fonction arbitraire , comprenne lu-même 
toutes les intégrales où il n'entre que des constantes. Cette vérité, que le C. Monge avoit 
prouvée par des considérations géométriques très-élégantes, est, ainsi qu'on va le voir, 
une conséquence immédiate de la théorie des solutions particulières. 
En effet, les équations différentielles ! # 
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dl dl de da dy dei 
n'ont pas seulement lieu dans la supposition que les quantités éliminées, que nous dé- 
signerons par @, b, et c, soient des constantes; mais elles sont encore vraies, lorsques 
ces quantités varieront, pourvu qu'on ait 
dv dy dv S dy’ dv! L'URL 
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On peut satisfaire à ces équations de 25 manières différentes, en regardant les quan- 
tités a, b, c, comme variables; nous n’en rapporterons ici que deux : la prenuere a. 
leu lorsqu'on suppose 
: dv dv dv dv! dy! dv! 
da aa de ride Ode ge D PAL dE T n uv 
[a seconde, en considérant les équations 
dv dy dv dvi dv! dy! , 
Tr da + A db + Te 40, Ge da + = db + Te dc 0; 
comme devant servir à déterminer a, b,c,en x, y, z. 
