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Lorsque les 6 premières équations peuvent s'accorder entrelles, et que de plus leur 
eo-existence réduit les deux équations y=0o, et v/—=0, à une seule, on a alors une 
solution particulière de l'équation dZ — 0, très-remarquable puisqu'elle appartient à 
‘une surface courbe. Dans le second cas, on peut envisager deux des quantités a, bet c, 
comme une fonction de la %., el si sous ce point de vue on suppose b—=9@ (a), 
c—% (a),ona, au lieu de l'équation dZ —0, un système d'équation composé des. 
quatre suivantes : à ÿ dre h 
v y v y y 
M0. no + V0, 7 Fos ere F0, 
dans lesquelles @' (a) = = =, et ainsi des autres. Toutes les fois que de ces quatre 
équations il sera possible d'éliminer la fonction (a) et ses différentielles, en n’em- 
ployant qu'une seule équation, on parviendra à un systême de trois équations contenant 
une foncüon arbitraire @(a), et donnant autant d'intégrales pose de la proposée 
qu'on assignera de formes diverses à cette fonction. L'exemple suivant éclaircira ce qui 
précède. Soit l'équation 
(y dx—xdy) +(zdx—xdz) +(ydz —2dy) =m(dz + dx+dy") 
déjà traitée par le C. Monge (Mém. acad. 1784. Paris); on trouve d’abord qu'elle peut 
dériver du système d'équation 
5 ax+by+zy/(m—a—b)=m,x—a=c(y—b), 
dans lequel les constantes &, b, et c, sont introduites par l'intégration. 
Fe : : P Eu : 
En trailant ces quantités comme des variables, on aura les équations suivantes : 
ae 
a da+y de SOIT 0, — da =(y — 0) dec db; 
Ces deux dernières, jointes à celles dont elles sont tirées, représentent le systême des 
FOI tel désigné ci-dessus. Si on égale séparément à zéro les coëfficiens de da et 
db dans la première, on trouvera 
ez bz 
a : 5 V (m°— & — b » Y V(m— a —b°)? 
substituant cette valeur dans la première des intégrales, il viendra 
z=y/(m—a°—0b?), 
d'où a=x, b=7y, valeurs qui rendent la seconde intégrale identique , et qui satisfont 
encore à — da=—=(y —b) dc--cdb,"puisque cette équation se réduit à da=tcdb, 
ou à dæx=—cdy, et rentrent par conséquent dans x —a=c (y — b). Il est donc 
évident que lorsqu'on prend a=x, b—=y, les équations v=0, v'—0, et leurs dif- 
férenuelles se réduisent à une seule.: savoir : 
x? +y +23 V/ Cm? — x —y)=m*, ou z = VW Gn — x —#). 
Cette équation, qui appartient à la sphère, ne renferme aucune constante arbitraire, 
et offre une solution particulière de la proposée, qu'il étoit d'ailleurs facile de déduire 
des considérations géométriques. 
Si dans le système des quatre équations que nous avons donné plus haut, comme 
équivalent à là proposée, on fait 6 —@ (a), c—Ÿ (a), il ne paroitra pas:possible 
de réduire ces 4 équations à 3; mais on y parviendra en changeant la forme des cons- 
tantes arbitraires, en faisant i 
a=a y (me —#), = (nm —e—b), 
d'où il suit nd At De SN SEE ANR ET MA 
a ) VG+ar +0): 
On aura alors les équations. 
} 1 
a! b' = E E LALEG  AACM ET as UnMLE SAP BTE UN i 
HP yEe=my/Ga et) x V'G+a? +06) 6 Var) 
