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une équation primitive ou finie et ses dérivées, tant aux différences finies qu'aux , 
différences infiniment petite. Le C. Biot observe que cette mamière de les envisager 
est sans doute trop particuliére , mais elle suffit à son objet, qui est de leur appliquer 
les considérations géométriques. Il donne les moyens de distinguer si une équation 
proposée est aux différences mêlées proprement dite ou aux différences successives ; 
etul fait voir que dans ce dernier cas, la recherche des équations primitives ne 
dépend que du calcul intégral ordinaire. Les équations aux différences mélées 
comportent des intégrales indirectes analogues à celles des équations aux diffé- 
rences finies , et aux solutions particulières des équations aux différences infini- 
ment petites. Elles s’obtiennent par des méthodes semblables ; le C. Biot les 
développe et à l'aide des considérations géométriques, il montre ce qu’elles re- 
présentent. 
Euler dans plusieurs mémoires a traité un grand nombre. de questions dans 
lesquelles il s'agit de déterminer la nature de certaines courbes, d'après des re- 
lations données entre des points infiniment voisins de ces mêmes courbes, et des 
points éloignés. Ce grand géomètre employant pour résoudre ces problèmes, des 
méthodes indirectes et particulières à chacun d'eux, le C. Biot fait voir que tous 
les problèmes de ce genre , sont du ressort du calcul aux différences mélées; et 
pour en donner des exemples, il a réuni dans son mémoire et résolu par cette 
méthode, un grand nombre de questions pareilles à celles dont nous venons de 
parler. De ce nombre so:t toutes celles qu'Euler s'est proposées dans un mémoire 
ayant pour titre: De insigni promotione methodi tangentium inversæ, ( Peters- 
bourg, tome X ). Nous alions rapporter ici une de ces questions. 
Trouver toutes les courbes MZ qui jouissent de cette propriété qu'en partant 
de l’un quelconque de ses points M, et abaissant une normale MP", cette nor- 
male soit Cgale à l'ordonnée P'M' élevée par son pied, et ainsi de suite. (Voyez 
fig. 6, planc. IV du Bulletin Ne. 53). 
À à ; 4 
Soit AP—zx, PM—7y, A'P—x, P'M—7y; la sounormale sera IT , €E 
les équations du problême seront 
= € LEZ Il faut observer que ces deux équations ne doivent 
. te (A) pas avoir lieu par elles-mêmes, mais seulement de ma- 
Tr E——— nière que l’une étant donnée, l'autre ait lieu. 
Si l’on différentie la première aux différences infiniment petites, et qu'on fasse 
y'dy! ydy À 
usage de la seconde, on trouvera = — —, On peut donc, au systéme 
dx d> 
des équations (A), substituer les deux suivantes : 
ia de Hs DA RIAE 
Di CITE (A) Ces deux équationspeuvent Ares An) 
DAC IN EN AE à se mettre sous la forme DAYIQES : (An, 
TNA dx Ve 
Jdy 
La seconde nous apprenant que la quantité est constante aux diffé- 
dx 
rences finies, on peut profiter de cette circonstance pour intégrer la première; 
et représentant par une quantité dont la différence est l’unité, on aura 
DE )L2}; HZ 
JAy 
dx 
On yoit par-là que ce problème , qui étoit originairement aux différences mêlées , 
tet T'étant des fonctions arbitraires de sin. 270 et cos. 274; 
— 0 et r la demi-circonférence dont le diamètre égale 1. 
