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 -PHYSIQUE. 



Piemarques sur les courbes tautochrones j par le C. BlOT. 



On nomme courbe taïUoclirone , celle sur laquelle les oscillations d'un corps pesant Institut kAt: 

 sont toujours de même durée , quelle que soit Ijur étendue. Les géomètres ont assigné 

 {es cas où le tautochronisme est possible dans les difFéreutes hypothèses de pesanteur 

 et de résistance 5 mais quoique leurs formules eussent touLe la généralité possible, ils 

 n'y cherchaient que les tautochrones planes , tandis qu'il en existe , pour chaque loi de 

 pesanteur et de résistance , une infinité qui sont à douille courbure. 



L'examen de ces nouvelles tautocln-ones et leurs rapports avec les tautochrones planes, 

 font l'objet des observations suivantes. 



Si l'on rapporte les points de l'espace à trois coordonnées rectangulaires, x y z ; qu'on 



nomme g la gravité qui agit suivant l'élément (?z; qu'on représente par (p (-tt) 



la fonction quelconque de la vitesse qui exprime la résistance du miheu ; enfin , que 

 l'on nomme u = o , u, = o les équatioiïs de deux surfaces sur lesquelles un corps pesant 

 doit rester , l'équation du mouvement de ce corps sera , d'après les principes de la uié» 

 canique analytique , 



d 



fj'"^^^'y-*-^^''-^ë^z-i-<p(^)^^+'^'^-^^^^''^ 



A et Jkj étant deux indéterminées qui disparoîlront à la"fin du calcul, et ds l'élémenî 

 de l'arc décrit. 



En égalant à zéro les coëfficiens des variations ^ x «J'y ^z , on aura trois équations 

 qui feront connoître les indéterminées A a_ , et par conséquent les réactions des surfaces 

 sur lesquelles le point doit rester ; il en résultera de plus une équation indépendante 

 de A et de a, qui, jointe aux équations u = o , u,==o, suffira pour déterminer les va- 

 riables xyz en fonction du tems t. 



Or , on parviendroit à cette équation , indépendante de A et de A , en multipliant les 

 trois équations composantes respectivement par dx dy d z ; ou , ce qui revient au même, 

 on l'obtiendra en changeant dans l'équation générale J'x en dx, Sy en dy, ^z en dz, 

 supposition permise dans le cas actuel, où les équations de condition u = o, u, ==0 

 ce contiennent point le tems t. (Voyez à ce sujet la Mécanique analytique, ae. partie.) 



Par ce moyen, les termes ;>i du , ?i, du, disparoîlront de l'équation générale, puisque 

 les quantités du, du, sont nidles, et l'on aura simplement 



dx d'x-^dy d^y+dz d'z , , , ^ /ds \ , 



Or, on a 



dxd*x-f-dy d'y-f-dz d'z = ds d's 



par conséquent l'équation précédente devient 



ds d\s , . ^ /' as 



o = - 



dz-i-ç ("2^) ds. (i) 



dt^ 



Lorsque les équations u = o , u, = o seront données, elles suffiront, avec la précédente, 

 pour faire connoltie la position du mobile à un instant quelconque. 



Dans le problême des tautochrones , on ne se donne pas les équations u = o, u,=oj 

 on demande , au contraire , de les déterminer de manière que le tems t employé à 



Sarcourir un arc quelconque depuis le point le glus. bas de la courbe, soit indépeudanE 

 e cet arc. 



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