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Or, en général, si l'on connoissoit ces deux équations, on en tireroit lai valeur de 

 z en fonction de l'arc s, et cette valeur étant substituée dans l'équation précédente, 

 la réduiroit à ne contenir que les deux variables s et t. 



D'où l'on doit conclure que la condition du tautoclironisme se réduira toujours à 

 établir entre 2 et s une relation telle que la valeur de t, déduite de l'équation (i) et 

 pris depuis le point le plus bas de la courbe où s=o, soit indépendante de l'arc total 

 parcouru, c'est-à-dire de la valeur de s à la seconde limite des intégrales. 



Ainsi , dans tous les cas , et quelle que soit la résistance du ntilieu , la condition du 

 tautoclironisme se réduira à une seule équation, de la forme 



s = (p (z) 



Il en seroit de même si le mobile , au lieu d'être animé par une force accélératrice 

 constante , étoit soumis à une force variable avec l'arc s et la hauteur z ; car il est 

 aisé de voir qu'en substituant dans l'équation du mouvement un terme de la forme 

 'î' (SjZ), 1^41 au lieu de g'J'Z; Sa n'étant pareillement fonction que de s et de z, l'é- 

 <[uation qui , dans cette circonstance , répondroit à féqnation ( i ) ne contiendroit pa- 

 reillement que les variables z , s et t. 



La relation qiie nous venons de trouver poiir le tautoclironisme , donne , en passant 

 aux difF(^rentielles 



ds=(p'(z) dz j 



et en élevant au quarré et éliminant d s , 



dx^-t-dj^ = (ip'^(z)— dz' (2) 



Cette équation ne suffisant pas à elle seule pour déterminer les deux projections de la 

 courbe cherchée , il s'ensuit , que toutes les fois que le tautochronisme est possible , il 

 y a une infinité de tautochrones. 



L'équation (2) ne satisfaisant pas aux conditions d'intégrabilité , n'appartient pas à 

 une surface , quelle que soit d'ailleurs la forme de la fonction <p ; ainsi , on ne peut, 

 dans aucune Loi de résistance, comprendre toutes les tautochrones sur une même surface. 



Si l'an se donne à volonté , entre x y z , une relation 



u = o , 



on pourra s'en servir pour éliminer une des variables de l'équation (3) ; alors celle-ci , 

 réduite à deux variables, deviendra toujours possible, et donnera la seconde équation 

 de la courbe. 



Ainsi , dans toutes les lois de résistance où, le tautochronisme est possible , on peut 

 tracer une tautochrone sur une surface quelconque- 



Quoique les diverses tautochrones ne puissent pas être réunies sur une même surface , 

 on peut cependant les construire par un procédé commun , qui montre clairement les 

 rapports qu'elles ont les unes avec les autres. Pour développer ceci , reprenonsl'équation (2), 

 qui est 



dz'-î-dy^ = (<p"/'z)— i) dz" (a) 



Quelle que soit l'équation de la surface donnée, on peut enlr'elle et la précédente con- 

 cevoir z éliminé, et le résultat représentera la projection de la tautochrone sur le plan 

 des xy ; ainsi , se donner l'équation de la surface , équivaut à prendre arbitrairement 

 cette projection. Or, si l'on fait 



dx'4-dy^=dr" 



dr représentera l'élément de l'arc, de celte même projection, et l'équation (i) deviendra 



dr* = (?''z--i) dz' (3) 



