• M A T H É MA TIQUES. 



Kjctvait d'un mémoire sur les questions de maximis et minimis , 

 relatives aux intégrales , paû M. Poisson. 



Le mémoire dont on va donner' un extrait, a pour objet principal: tle présenter. Soc. phii.om. 

 d'une manière nouvelle , la détermination des limites de l'intégrale , dont on cherche 

 le maximum ou le minimum. 



Soit S V d X une intégrale dans Jacfuelle V renferme , Qiitie la variable x , un© 

 fonction y de forme indéterminée , et les coeffic iens différentiels de celte fonction ; 

 ensorte que V soit une fonction donnée, de x , y , p , q , r, s, etc, si, comme on le 

 fait ordinairement, on représente par p, q .r, s, etc. les coefficiens différentiels dey. 



Si l'on demande le maximum ou le minimum de cette intégrale, relalivement à 

 la forme de la fonction j' , et relativement arix limites de l'intégrale ;joii aura d'abord 

 pour déterminer jy, l'équation ' "'" r-i.Vj' ''~ -J/îi ' 



dP d'Q d'à " ' . \ • 



dans laquelle on a fait pour abréger = N ^ — _ = P , etc. 



•dy dp . 



Eu supposant que F soit une fonction différentielle de l'ordre cpielconque re, l'équa- 

 tion (o) sera de l'ordre 2n, et son intégrale donnera la valeiw dey en fonction de 

 X et d'un nombre 2 n de constantes arbitraires, que je désignerai par c, c' , c" , etc. 



La méthode des variations fournil une seconde équation , que Ton obtient en même 

 tems que l'équation (<?) , et qui sert à déterminer' les constantes c , c' , c" , etc. , et les 

 deux limites de f intégrale J' F d x. Nous allons parvenir, d'une autre manière à cette 

 ïeconde équation. 



Lorsqu'on aura substitué dans V les valeurs de y et de ses coefficiens différentiels 

 en fonction de a: ^ c, c' , c» , etc. , l'intégrale S V d x pourra s'eff'ectuer algébriquement, 

 ou du moins par les quadratures, et cette intégrale prise entre des hmites quelconques 

 X ■= a ei X ^=b , sera une fonction déterminée de a, b , c , c' , c'i , etc. Il ne restera donc 

 plus qu'à trouver \e maximum ou le minimum de S V dx, relativement à toutes ces 

 quantités; problême qui se rapporte à latliéoiie ordinaire àes m,axina eldes^miiiim-a 

 des fonctions de plusieurs variables, et dont la, solution consiste à former la variation 

 complète de S V dx, pour l'égaler ensuite à zéro. 



• Pour n'avoir pas à considérer à-la-fois la variation des deujt limites a et b , j'observe 

 que rintégrale S Vdx , prise depuis x == a jusc[u'à x =■ b , c'est la même chose que 

 cette intégrale prise depuis une limite fixe, depuis x =z o par exemple, jusqu'à x 

 z= a, moins la même intégrale prise depuis x =z o jusqu'à a: = 6. Je cherche suc- 

 cessivement la variation de chacune de ces deux intégrales : la différence de ces va- 

 riations sera la variation Ae S V dx. . 



Soit A f intégrale S V dx prise depuis ic ==0 jusqu'à ;r = a ; soif B la même intégrale 

 prise depuis a: = o jusqu'à x = Zi. Ueprésentoiis par" F' et V" , les valeurs de V qui 

 se rapportent à x = a et à a: = 6 ; et supposons que a et 3 deviennent a -^ d a ç^ 



dA ' dB 



b -\- db, la variation de A sera t — da, et celle de B sera j-^ dh; ti comme 



dSVdx dA dB 



— ^7— = V, et par conséquent , — = V et -i-, =: F", on aura f da — 



Vil d b pour la variation de lintégrale S Vdx, provenant de celles de ses limites a 

 et b. 



