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Si l'on suppose que les aitbHrâîréS' c./'?'/ c", éfc. dé\?iehnelit c -h .d c , c' -h d c' , 



d y d y dy 



cil -4- de", etc. ,1a. varialion correspondante de j' sera j-^ de +J^ de' ■+■ ^^ 



d cil -\- etc ; et si l'on représente , pour abréger , cette variation par »■ , on aura 



_ " > f . etc., pour les variations de p, q, r, s, etc. Oï V ne renferme 



dx^ d x"- dx''> 



les arbitraires c,c' , c"'> èf6., que par suite de la substitution dès valeurs de y et de ses 



ji dV~ n 



coéfficiéns differetitiels ; la variation de F ne peut donc être, autre chose que ^ 



d V d„ dV d^ u , ... ■ cZa d^« 



+ -Tp~dx^dTd-x^^ '"'- ' ^ ^^'-"-^^^^ ^ " -^ ^ JT + Q^x^- -^ '^^^^ 5 P-- 

 conséquent la varialion de J TcZ x , provenant de celles des arbitraires c , c', c", efc. sera 



, dm d'- 1 \ . , ^ . ,, 1. , i* 



S f N a -i- P ;?-" + Qj~^ •+-etc. J dx ; et si Ion ôonvient d accentuer d un Ira'' 



et de deux traits , les quantités qui se rapportent aux limites g et è de cette intégrale , 



on parviendra , au moyen de fintégration par parties , à la mettre sous cette forme. 



,- dO' \ doi , ^ . 



-' ( ^' - 5^ -^ '''• ) + ZT ( Q' - eic. ) + 



etc. 

 dQ'i X d ail 



(au" \ aaii , ^ 



^" -û-^'^'-j-ib ( Ç" - ''' ) 



etc. 



, dP d^Q ,, 



L'intégrale qui entre dans cette variation àe S Vdx , est identiquemeut nulle , puisque 

 la valeur de y qu'on est censée avoir substituée dans V, a été tirée de l'équation (a). 

 D'ailleurs Y étant une fonction de x , c , c' , c", etc., sa variation complète est dy = 



dy dy , 



pdx -+- j — de ■+ -j-j de' -\- etc., ou simplement Jjy = pdx -}- • ; on a donc 



du , d^ ai 



a = dy — pdx, -j— =^ dp — gdx, i — r ^=^ dq — rdx, etc. Donc on aura , 



en égalant à zéro la varialion eomplèle de S Vdx, l'équation 

 V da-^Cdy' — p' da\ (P' _ £2' -f. efc > -1- (" dp' — q'da) (Q' — etc\-i-etc. 



—V'idbetc — ( dyri — pH db \ CPU — '^Q"-\-etc\ — Ç dpH — q'idb ") (û" - etc V ^'^• 



Cette équation et les équations de condition qui peuvent exister entre les quan- 

 tités a I y' , p', q' , etc. , b , y" , p" , o" , etc. , serviront à déterminer les constantes arbi- 

 traires , contenues dans l'intégrale de l'équation (a) , et les limites a et è de l'intégrale 

 S Vdx. Elle est absolument la même que celle qu'on trouve ordinairement en faisant 

 varier x et dx dans l'intégrale S Vdx. Mais on ne peut guère avoir une idée nette 

 de la variation de a: et de dx , qu'en supposant tacitement que x ely sont des fonctions 

 d'une troisième variable. On tonîbe alors dans le cas où il existe sous le signe intégral 

 deux fonctions indéterminées d'une même variable , on trouve pour déterminer les 

 valeurs de ces fonctions qui répondent au maximum ou au minimum de S Vdx, deux 

 équations, et fon fait voir que ces deux équations se réduisent à une seule, que nous 

 avons désignée ci-dessus par l'équation (c). Celte marche est naoins directe que celle 

 qu'on vient d'exposer j mais elle offre un mécanisme de calcul, précieux à beaucoup 

 d'égards, et qu'on peut apphquer aux combinaisons d'intégrales les plus compliquées. 

 ( yoyeb pour cela le Traité de calcul intt'gral de M. Lacroix. ) 



