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MATHÉMATIQUES. 



Remarques sur les intégrales des équations aucc différences partielles , 



par M. Poisson. 



L'intégrale d'une équation aux différences partielles d'im ordre quelconque n, doit Soc. I'hii.o.m 

 en général renfermer un nombre n de fonctions arbiti-aires j mais il existe des cas 



Farticuliers dans lesquels ces fonctions se réduisent à un moindre nombre , sans que 

 intégrale perde riende sa généralité. Ces cas ont lieu lorque les plus hautes différences, 

 relatives à l'une des variables, manquent dans l'écjuation aux différences partielles- 

 Ainsi, z. étant une fonction de x et de y, si l'on a pour déterminer cette fonction, 

 une éc^ualion aux différences partielles de l'ordre quelconque n , dans laquelle la plus 



d "^ z 

 haute différence de z relative à x-, soit m étant <^ «, et qui ne contienne 



d" z 

 pas les différences de relatives à y ; la valeur la plus générale de z , qu'on 



puisse déduire de cette équation , ne comportera qu'un nombre m de fonctions 

 arbitraires. Si donc on obtenoit une intégrale de cette éc[uatiou, qui renfermât un 

 plus grand nombre de fonctions arbitraires, on pourroit être certain que ces fonctions 

 ne sont point essentiellement distinctes et irréductibles. 



Pour démontrer cette proposition, je suppose la fonction z, développée suivant les 

 puissances de x ; on aura par le théorème de Tajlor , z =z Z -\- Z' x -{. 



x^ x^ 



Zn — + Z'" — - -j- etc. , Z , Z' , Z'" , etc. , désignant les valeurs de a , 



2 2, 3 



d Z d* Z 



——, — , etc., dans lesquelles on a fait x = o, après les différentia lions. Or 



dx dx^ ' 



dans cette série les m premiers coefficiens Z , Z' , Z" , ^ {m-^i) ^ 



resteront seuls arbitres ; car , d'après la forme que l'on a supposée à f équation qu'il 

 s'agit d'intégrer, il est visible que l'on en peut déduire, par de simples différentiations 

 les valeurs de toutes les différences de z relatives à x, à partir de celle de l'ordre 



m; faisant ensuite x = o dans ces valeurs, on aura celles de 2' ' ■' , Z ^ '-^ , etc. , 



en fonctions des coefficiens Z , Z' , Z" , ^ ' -^ , et de leurs différences 



relatives à y. 

 Prenons pour exemple, de ce que nous venons d'avancer, l'équation fort simple 



d z d^ z . , ,. ... 



— = . Son intégrale en série , ordonnée suivant les puissances àe x , et obtenue 



dx dy^ 



soit par le théorème de Taylor , soit par la méthode des coefficiens indéterminés, 



d^.-^Y x^- di-.-^y xK d^.-^y 



est z, = \f' y + X. — - — : 1- — -- — ^ -\ ;:: -^-,~ + etc. , ^ y étant une 



■^ dy'- 2 dy+ 2. J dy"" 



fonction arbitraire et la seule que renferme cette intégrale. 



L'intégrale de cette équation , ordonnée suivant les puissances de y , seroit Z = 



ç X -{- y 3-a:-|-=^?'x + -^ ir' x ~\ ''--— ?" x -\ ;^ f" x + etc. , 



2. 2. z 2. 0. 4 2. j. 4. D' 



p X »t T X étant deux fonctions arbitraires. 



