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Ces deux intégraîea devant èlxo é(£uivalente8 , il faut que les deux fonctions' ç x 

 et »■ ^ se réduisent à une seule , sans q.ue la seconde valeur de z perde rien de sa 

 généralité • or, c'est ce qui arrive, eu effet, el pour le faire voir, il suffit de développer 

 les fonctions ç x çt ^r x suivant les puissances de jt , et d'ordonner la seconde valeur 

 de a, aussi suivant les puissances de. j;. , 'X 



C oc^ D a-3 



En faisant Çx~A-\-Bx^ —- 1 '-—- -U etc. , ei ^ x = A' + B' x -ir- 



z Z.Cl 



C x^ D' xi By^ B' v3 Cv+ 



-h - — ^ — h etc., on aura z, ■= A A- A,' y Ju ■ - -'' , 4_ — J^ -\- —^ ^- 



a '2.3 ^ -^^ ^ a ^ a 3 ^ 2.3.4 ^ 



— ~--T -\ ?- -^-- + etc. ,+x(B-\.B'y^ —3 u -^ 4- ^ ... 



£, 5. 4. 5 2. 5 4. 5 ^ ' ^ V ^ -^ ^ it ^ 2 3 ^ 2. o. 4 



+ — ÇC + C'y+ -f- 4. etc. ) + etc. 



La partie indépendante de x,:dans celte série, peut être regardée conime le dé- 

 veloppement aune fonction 'arbitraire de ^j;et en représentant cette fonction par ■^'y 



1 , - - . . T • -1 , '"■^^- 'J'Y ^^ - ^'*. 4' V 



la série BnUere deviendjA z == ^f y 4. or , - ' ■■ ■ + ^^ —^7—=^ + etc. , o'est-à-dire , 



•^ dy^ ~ 2 " V''' 

 la première Y^J^uf die z. . • 



L'intégrale de l'équation — — ss - —^ , de l'ordre quelconque 71^ ne renfermeroit 



qu'une seule fonction arbitraire , si on f ordonnoit suivant les puisssances de :c , el elle 

 en contiendroit ux^ nombre li, si on la d,4veloppoit sqivai|t les puissances de y. 



■T.- / 1 T , ■^ ■. T '^■*' 2; d3 z 



Lmtéarale dune ecruation du quatrième ordre, comme — ; .— =; ■ -4- 



• '^ '■ ^ . ' - , . U'x^dyt «^y^ 



d^ z 

 -- — , ne renfermeroit crue trois fonctions arbitraires, soit que la valeur de z fût 



ordonnée suivant les puissances de a: , soit qu'elle le fût suivant celles de^. Mais en 

 ordonnant Cette valeur , suivant les puissances d'une autre variable , fonction de x et 

 de y , on pourroit obtenir une intégrale c|ui renfermât quatre fonctions arbitraires. 

 Ces fonctions se réduiroient à trois, par des transformations convenables. 



En général, les équations de l'ordre n , dont les intégrales comportent moins de n 

 fonctions arbitraires, sont de l'espèce de celles qui ne peuvent être intégrées squs 

 l'orme finie , et c'est parce que ces intégrales sont sous la forme de séries , qu'il 

 arrive que deux ou un plus graiid nombre de fonctions arbitraires, penvejit se réduire, 

 à une seule. 



Les remarques que Ton vient de faire , s'étendent aux équations d'uii ordre quel? 

 conque , entre un nombre quelconque de variables. 



