ZUR THEORIE DER ORTHOGONALEN SUBSTITUTIONEN. 237 
systems. Vor der Lösung dieser Aufgabe müssen jedoch zwei Fra- 
gen entschieden werden. 
1.Ob die Gleichungen des Systems sich nicht widerspre- 
chen, so dass ihre simultane Lösung unmöglich ist? 
9. Ob die Gleichungen des Systems von einander unab- 
hängis sind, so dass man auch eine der Anzahl der Gleichun- 
gen und Unbekannten entsprechende Anzahl von Lösungen 
findet. 
Dass die Gleichungen I) sich nicht widersprechen, folgt schon 
daraus, dass gewisse orthogonale Substitutionen von n Dimensio- 
nen ohne Weiteres gebildet werden können. So ist z. B. — um 
die einfachste zu erwähnen — die identische Substitution : 
Yı Xi; 
QGoeen) 
deren Coefficienten durch die Gleichungen 
Ci, = Pi, 
Ve on) 
gegeben sind, orthogonal. c; ;,=®i,i, ist also eine Lösung des 
Gleichungsystems I), so dass schon hiedurch die Incompatibilität 
der Gleichungen unter I) ausgeschlossen ist. 
Nicht so einfach zu entscheiden ist die zweite Frage, die 
sich auf die Unabhängigkeit der Gleichungen I) bezieht. Diese Frage 
ist — meines Wissens — bisher noch nicht entschieden; es ist 
mir wenigstens kein Beweis bekannt, aus dem die Unabhängig- 
keit der Gleichungen I) in einer jeden Zweifel ausschliessenden 
Weise ersichtlich würde. Und die Entscheidung dieser Frage ist an 
sich genug wichtig, da der oft angewendete Satz, nach dem die 
aus der Gesammtheit der orthogonalen Substitutionen von n 
Dimensionen bestehende Mannigfaltigkeit, die Dimension 
MW az 
Polo md 
hat, nur dann einwurfsfrei ist, wenn die Gleichungen unter I) 
von einander unabhängig sind, und ehe dies nicht genau er- 
wiesen ist, kanr man von der Dimension dieser Mannigfaltig- 
