973 PAUL STÄCKEL. 
stellung gefunden hat, findet sich auch bei Johann, der in seiner 
Abhandlung wiederholt die «durationes» zur Darstellung der bei 
ihm auftretenden Zahlengrössen benutzt. 
Von ganz besonderer Wichtigkeit für Johanns Untersuchun- 
gen ist die Theorie der negativen Grössen, die sein Vater im 
Tentamen entwickelt hat. In dem zweiten Paragraphen des 
Entwurfes (Beilage A) bringt Johann im Grunde WOoLFrGAnGs 
Gedanken zum Ausdruck, jedoch mit einer Klarheit und Schärfe, 
zu der dieser selbst sich niemals durchgerungen hat. Er besteht 
in der fundamental wichtigen Erkenntniss, dass die negativen 
Grössen erst dann einen Sinn gewinnen, wenn man den Grössen 
zwei «Determinationen» beilegt oder mit andern Worten, wenn 
man neben der ursprünglichen Einheit «+1» eine neue Einheit 
«—1» einführt, eine Einsicht, worin Wolfgang freilich schon Buze 
(1806) zum Vorgänger hatte.* Durchdrungen von der Bedeut- 
samkeit seines Gedankens hat Wolfgang im Gegensatze zu den 
Zeichen des Hinzuthuns und Wegnehmens «+» und «—» für die 
positive und negative Einheit zwei besondere Zeichen «1» und 
«—» eingeführt. Für die Begründung der Theorie der negativen 
Grössen mögen die neuen Zeichen ihren Nutzen haben, aber es. 
empfiehlt sich, diese Fesseln bald wieder abzustreifen, sonst wird 
die Darstellung unnöthig lang und schwerfällig. 
Aus der naturgemässen Weiterentwickelung von 
Wolfgang Bolyais Theorie der negativen Grössen ist 
Johanns Theorie der imaginären Grössen hervorge- 
gangen; der Vater hat dem Sohne auch hier «vorangeleuchtet». 
Ehe ich indessen hierauf ausführlicher eingehe, möchte ich einige 
wenige Worte über Wolfgangs Theorie der imaginären Grössen 
* Memoire sur les quantites imaginaires, read 20. Juni, 1805. Phi- 
losophiecal Transactions, London 1806. Daselbst heisst es auf Seite 24: 
Chacun des signes + et — a deux significations tout-a-fait diffe- 
rentes. 
1°. Mis devant une quantite q. ils peuvent designer, comme je l’ai 
dit, deux operations arithmetiques opposees dont cette quantite est le sujet 
2°. Devant cette möme quantite ils peuvent designer deux qualites 
opposees ayant pour sujet les unites dont cette quantite est composee, 
