JOHANN BOLYAIS THEORIE DER IMAGINÄREN GRÖSSEN. 275 
weiter, er weiss schon damals, dass man eine entsprechende 
Theorie für Grössen mit mehr als zwei oder, wenn man die beiden 
negativen Einheiten besonders zählen will, mit mehr als vier 
Einheiten aufstellen kann (S. 422.) Johann behauptet zwar ($ 3), 
dass man genau seine vier Einheiten, 1, —1, #1, +1 ein- 
führen müsse, nicht mehr und nicht weniger, aber er bleibt den 
Beweis schuldig. Während ferner JoHann die Regeln für die Mul- 
tiplication complexer Grössen ohne jede Begründung, so zu sagen 
durch einen Machtspruch einführt, giebt Hamınron auf Grund des 
distributiven Gesetzes die allgemeinste Formel der Multiplieation 
und bemerkt dazu, dass es sich aus Gründen der Zweckmässigkeit 
empfehle, die darin auftretenden Constanten so zu wählen, dass 
man auf die gewöhnlichen complexen Zahlen kommt. Zu Gunsten 
von Johann ist freilich geltend zu machen, dass dieser sich voll- 
kommen darüber klar war, dass die Regeln des Rechnens mit imagi- 
nären Grössen erst definiert werden müssen und dass es hierebenso, 
wie bei den negativen Grössen (vergl. $ 2 des Entwurfes), keines- 
wegs erlaubt ist, die für die gewöhnlichen Zahlen geltenden Rech- 
nungsregeln ohne weiteres auf die neuen Zahlen zu übertragen. 
Diese richtige Erkenntniss zeigt sich besonders darin, dass Johann 
gegen Gauss’ Deduction, dass die ganzen complexen Zahlen durch 
die Punkte eines quadratischen Gitters in der Ebene dar- 
gestellt werden müssen, mit Recht den Einwand macht, Gauss 
dehne dabei den Begriff der Proportion, der zunächst nur für 
reelle Grössen gilt, in unzulässiger Weise auf imaginäre Grös- 
sen aus. 
Alles in allem wird man sagen dürfen, dass, wenn Johann 
auch nicht die Kraft hatte, seine Ideen abzuklären und auszuge- 
stalten, wenn es ihm auch leider nicht beschieden war, die vielver- 
sprechende Früchte seiner Jugend reifen zu lassen, seine Leistun- 
sen in der Theorie der imaginären Grössen doch des Verfassers 
der Appendix nicht unwürdig sind und ihm für immer einen 
Platz in der Geschichte dieser Theorie sichern. 
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